Konsistenzordnung Numerik

01.09.2010, 11:02

Tobi88

Konsistenzordnung Numerik

Meine Frage:
Ich sollte in einer Aufgabe die Konsistenzordnungen des verbesserten Eulerverfahrens, des implizierten Eulerverfahrens, des Verfahrens von Heun und des klassichen Runge- Kutta-Verfahrens anhand eines Beispiels bestimmen.

Heraus kam 1, 2, 3 und 4.

Schön und gut das ich das berechnet habe, aber was sagt die Konsistenzordnung eigentlich aus??

Meine Ideen:
Bei Wiki fand ich eine Beschreibung: "Die Konsistenz beschäftigt sich nun mit der Frage was passiert, wenn die exakte Lösung im numerischen Verfahren verarbeitet wird. Die aufgeführten Beispiele sind numerische Differentiation oder Lösung eines Anfangswertproblems. Hier wird der entstehende Fehler in Abhängigkeit von einem gewählten Gitter oder einer gewählten Schrittweite betrachtet."

Ist die Konsistenz also meine Schrittweite/ Anzahl in den Verfahren und somit ausschlaggebend für meine Genauigkeit??, oder ist sie was ganz anderes.

01.09.2010, 11:36

Booker

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konsistenzordnung beschreibt den lokalen Diskretisierungsfehler, also bis zu welchem Grad Polynome lokal exakt durch das Lösungsverfahren approximiert werden.

01.09.2010, 11:59

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Verfahren hat Ordnung $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} y(x_0+h)-y_1=\mathcal O(h^{p+1}) \end{eqnarray*}$ . Hier ist $\begin{eqnarray*} y(x_0+h) \end{eqnarray*}$ der Wert der exakten Lösung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0+h \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ die numerische Approximation.

Die Ordnung gibt also an, um wieviel ungefähr die Approximation besser wird, wenn man $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ verkleinert. Halbiert man die Schrittweite eines Verfahrens von Ordnung 2, dann wird der Fehler ungefähr "geviertelt"; aber zu dem Preis, dass man mehr rechnen muss [da die Schrittweite kleiner geworden ist].

01.09.2010, 12:28

Tobi88

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt je höher die Ordnung um so genauer ist mein Verfahren??

01.09.2010, 12:54

Booker

Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Genauigkeit des Verfahrens spielt nicht nur die Konsistenzordnung eine Rolle.

Konvergenzordnung, Konditionierung und Schrittweite haben auch erheblichen Einfluss auf die Genauigkeit.
Es ist schon richtig, dass ein Verfahren höherer Konsistenzordnung bei gleicher Schrittweite eine genauere Lösung liefert als ein Verfahren niederer Ordnung.
Aber normalerweise verwendet man Verfahren mit adaptiver Schrittweitensteuerung, das heißt man gibt eine gewünschte Genauigkeit vor und der Solver passt die Schrittweite automatisch an.
In diesem Fall erreicht man durch eine höhere Konsistenzordnung, dass die Schrittweite größer gewählt werden kann, als bei Verfahren niederer Ordnung.

Im Endeffekt ist dann zu entscheiden, ob die größere Schrittweite den Geschwindigkeitsverlust durch die kompliziertere Berechnung des nächsten Iterationsschritts aufwiegt oder nicht.
Das führt dann zu Verfahren mit adaptiver Schrittweiten- und Ordnungssteurung und geht wohl hier zu weit. geschockt

01.09.2010, 12:58

Tobi88

Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die Antworten euch beiden

@ Booker schön das du es als ganzes formuliert hast, mit der Auswahl der jeweiligen Verfahren auf Grund der verschiedenen Parameter hab ich irgendwas im Skript gelesen .. jetzt macht es Sinn

01.09.2010, 17:43

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Booker
Aber normalerweise verwendet man Verfahren mit adaptiver Schrittweitensteuerung, das heißt man gibt eine gewünschte Genauigkeit vor und der Solver passt die Schrittweite automatisch an.
In diesem Fall erreicht man durch eine höhere Konsistenzordnung, dass die Schrittweite größer gewählt werden kann, als bei Verfahren niederer Ordnung.

Als kleine Anmerkung: Gerade was die Adaptivität angeht muss man ziemlich aufpassen. Diese zerstört manchmal gerade die sehr guten Eigenschaften eines Verfahrens.

Neue Frage »

Antworten »

Konsistenzordnung Numerik

Verwandte Themen