Nenner rational machen (Summe aus Kubikwurzeln Im Nenner)

01.09.2010, 12:44	Tom1213	Auf diesen Beitrag antworten »
Nenner rational machen (Summe aus Kubikwurzeln Im Nenner) Meine Frage: Hallo, hierbei handelt es sich nicht um eine Schulaufgabe. Die Aufgabe steht in einem Lehrbuch leider ohne Lösung. Folgender Bruch soll rational gemacht werden: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider habe ich keinen Ansatz. Übliche Vorgehensweisen wie die Erweiterung zum Erreichen einer 3. binomischen Formel scheinen auch nicht zu helfen. Dann habe ich im Nenner immer noch $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{a^{2}} - \sqrt[3]{b^{2}} \end{eqnarray}$ stehen. Ich freue mich über jede Hilfe.
01.09.2010, 13:41	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nenner rational machen (Summe aus Kubikwurzeln Im Nenner) $\begin{eqnarray} \frac {x^{3}-y^{3}}{x-y} \end{eqnarray}$ lässt sich kürzen. Das gibt eine Idee.
01.09.2010, 15:03	Tom1213	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nenner rational machen (Summe aus Kubikwurzeln Im Nenner) Vielen Dank für die Antwort. Leider sehe ich nicht, worauf du hinauswillst. Auch sehe ich nicht, was sich dabei kürzen lässt. Durch Polynomdivision erhalte ich $\begin{eqnarray} x^{2} + y^{2} + xy \end{eqnarray}$ . Könntest du mich etwas genauer darauf stoßen, wie mir das hilft? Vielen Dank.
01.09.2010, 15:21	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis stimmt. Durch umstellen erhält man also $\begin{eqnarray} x^3-y^3 = (x-y) \cdot (x^2+xy+y^2) \end{eqnarray}$ Was solltest du hier in deiner Aufgabe nun als x, was als y wählen? Und mit welchem Term musst du anschließend den Bruch erweitern?
01.09.2010, 16:02	Tom1213	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank. Bin mithilfe der Tipps endlich drauf gekommen. Ich setze $\begin{eqnarray} a = x^{3}, b = y^{3} \end{eqnarray}$ und erweitere mit dem oben genannten 2. Faktor, erhalte im Nenner das Produkt, setze a und b wieder richtig zurück und dann ist der Nenner rational. Zwei Fragen: Fällt das Wählen von a und b unter das Stichwort "Substitution"? Ist das ein allgemeines Vorgehen oder habe ich hierbei nur die spezielle Eigenschaft der Zerlegung der Differenz von kubischen Wurzeln in das genannte Produkt ausgenutzt? Also was ich meine: Gibt es ein analoges Vorgehen für $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[7]{a} - \sqrt[7]{b}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[5]{a} - \sqrt[7]{b}} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt[4]{a} + \sqrt[5]{b}} \end{eqnarray}$ (also unabhängig von den Wurzelexponenten)? Vielen Dank nochmal.
01.09.2010, 16:11	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nenner rational machen (Summe aus Kubikwurzeln Im Nenner) Im ersten der drei Fälle: Ja.
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