Anwendungsaufgabe zu ganzrationalen Funktionen

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xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendungsaufgabe zu ganzrationalen Funktionen
Meine Frage:
Also die Aufgabenstellung lautet: Ein Auffangbecken eines Klärwerks wird mit Wasser gefüllt, wobei der Zulauf sich durch die Funktion f mit f(t) = t³-12t²+36t, t [0/7] beschreiben lässt. Dabei ist t die Zeit in Stunden und y bzw. f(t) die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in m³/h. Ein negativer Funktionswert bedetet, dass Wasser aus dem Becken abfließt.

a). Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Wassermenge im Becken nicht?
b.) In welchen Zeiträumen steigt bzw sinkt der Wasserspiegel im Becken ?
c.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Zulauf im betrachteten Zeitintervall maximal?
d.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Wasserspiegel im Becken am höchsten bzw. am niedrigsten?
e.) Gib die Zeitpunkte an, an denen sich der Zulauf besonders stark ändert.

Meine Ideen:
Ich habe nun angefangen, eine komplette Funktionsuntersuchung zu machen. Ist das der richtige Weg? oder gibt es noch einen einfachen. Ich bin nämlich bei der Bestimmung der Extrempunkte hängen geblieben, da es dort Komplikationen gibt.

Nullstellen:

f(t) = t³-12t²+35
t(-12t²+35)
-12t²+35 = 0 p = -12 q = 35

x = 7 oder x = 5

Extremstellen

f(t) = t³-12t²+35t
f'(t) = 3t²-24t
f''(t) = 6t
f'''(t) = 6

NB: f'(t) = 0

f'(t) = 3t²-24t+35 / : 3
f'(t) = t²-8+11

nun gibt es ein Problem bei der Pq-Formel.

p = -8 q = 11

4+/-

Es geht nicht sauber auf, was kann ich nun tun?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie kommt mir diese Aufgabe noch sehr bekannt vor aus meinen alten Abi- Zeiten. verwirrt

Naja fangen wir ma mit a) und b) an.

Zu a) :

Was bedeutet es den, wenn die Wassermenge im Becken nicht steigt?
Welchen Wert erwartest du an welcher Stelle?

ps : Deine Nullstellen sind falsch. Setze sie zur Sicherheit immer in deine Ausgangsfunktion nochmal ein und überprüfe, ob wirklich 0 heraus kommt. Außerdem meintest du ja bestimmt t und nicht x, denn ich sehe hier kein x. Augenzwinkern

zu b) :

Hier kann ich dir den Tipp geben dir einmal die Kurve anzusehen, falls sie auf dem Blatt vorhanden ist. Wenn nicht, was hat denn eine Kurve so besonderes, woran man festmachen kann, ab wann eine Kurve ansteigt bzw. fällt? Da gibt es ganz signifikante Punkte für...
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnelle Antwort. Also wenn der Wasserspiegel nicht mehr steigt, dann wird kein Wasser mehr zugefügt Big Laugh Ich denke mal das Die Wasserzulauf im Maximum am größten ist und im Minimum an niedrigsten. Also sollte der Wasserzulauf am Ende am niedrigsten sein und irgendwo in der Mitte am größten.

Ich hatte mich bei der Funktionsgleichung verschrieben, sie muss heißen

f(t) = t³-12t²+35t ( und nich 36t)

Ich hab die Werte für t (5,7) eingesetzt und es kommt wirklich 0 raus.

Also die Punkte wann eine Kurve ansteigt oder fällt sind ja die Extrema und die Wendestellen, soweit ich weiß

Danke aber schonmal für deine Hilfe
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar mit der 35 stimmen deine Nullstellen auch. So am Rande aber noch : Du hast nicht nur 2 Nullstellen...

Jetzt fragt sich nur : Was willst du damit? Du brauchst sie , aber wo nur? verwirrt

Nochmal zu a)

Du hast recht, es wird kein Wasser mehr zugefügt. Aber was bedeutet das für deine Funktion?

f(t) = t³-12t²+35t

Wenn du weißt, dass kein Wasser mehr hinzugefügt wird, dann kennst du einen der Werte. Erinnere dich daran :

Was bedeutet denn t ?

Was bedeutet denn f(t) ?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

also t ist ja die Zeit in Stunden und f(t) ist die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in m³/h. Wenn also kein Wasser mehr hinzugegeben wird, dann ist einer der Werte O?, ich denke die Nullstellen brauche ich, damit ich bestimmen kann,wann kein Wasser hinzugefügt wurde?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also das stimmt schonmal. Damit hast du Aufgabe a) erledigt. Wie wäre nun dein Antwortsatz?

Zu Aufgabe b)

Ja du hast Recht, die Extremstellen geben dir wichtige Hnweise darauf. Die Wendestellen dagegen nicht.

Konzentrier dich also auf die Extrema und versuche nochmal diese heraus zubekommen.

Und noch was : Es kommen leider keine geraden Zahlen raus. Bist du dir ganz ganz sicher, dass es + 35t und nicht vielleicht 36t heißen muss? Sind zwar ganz ähnlich Nullstellen, jedoch kommen für + 36t gerade Zahlen heraus.
Und das ist doch eine Oberstufenaufgabe oder? Da sind Kommazahlen doch nichts Neues hoffe ich. smile
 
 
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

hab extra nochmal nachgeguckt, entweder ist das ein schreibfehler der Personen, die diesen Zettel erstellt haben oder ka Big Laugh

NB: f'(t) = 0

f'(t) = 3t²-24t+35 / : 3
f'(t) = t²-8+11


p = -8 q = 11

4+/-

t= 7,41.... oder 0,58... ?! das verstehe ich nicht
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Unter der Wurzel ist etwas falsch.

Nochmal zur Erinnerung die pq - Formel :

xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

oh, schreibfehler

4+/-

t = 4 1/3 oder t = 27 2/3

das sieht schon besser aus
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es falsch ausgerechnet....
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, was hab ich denn da falsch gemacht?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast also



Dann rechnen wir erstmal das unter der Wurzel :



Und

ist ungefähr 2.

Also bleibt dann stehen :



Somit bekommst du

und

Das sind jetzt aber auch nur ungefähre Werte. Hätten wir die Wurzel ganz normal gezogen hätten wir etwas abweichende Kommazahlen bekommen,welche wieder zu 2 und 6 gerundet werden könnten.

So bevor das ganze hier durch die Rechnerei durcheinander gerät nochmal :

a)

Wir haben dort die Nullstellen der Ausgangsfunktion berechnet, um herauszubekommen, wann die Zuflißgeschwindigkeit 0 ist. Denn zu diesen Zeitpunkten ändert sich die Wassermenge nicht.

b)

Gehen wir nochmal zur Ausgangsfrage zurück. Es ist gefragt, in welchen Abschnitten die Zuflußgeschwindigkeit steigt und wann sie fällt.

Dazu haben wir uns überlegt, dass uns die Extrema dazu helfen könnten.
Also haben wir ersucht sie heraus zubekommen und haben errechnet, dass an den Stellen t = 2 und t = 6 zwei Extrema vorkommen.

Wie könnte es also nun weiter gehen?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

ich denke wir könnten untersuchen wo ein lok.Max und ein Lok.Min zu finden ist.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Freude

Und wenn wir nun wissen, wo wir einen Hochpunkt haben und wo wir einen Tiefpunkt haben , inwiefern hilft uns das dann dabei zu verstehen, wo die Kurve dieser Funktion steigt und wo sie fällt?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir wissen wo ein Tief - bzw. Hochpunt ist, dann wissen wir, wo der Wasserzufluss am niedrigsten bzw. am höchsten ist. Außerdem weiß man nun, wann die Kurve ansteigt und wann sie abfällt
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Gaaaanz genau. smile

Dann versuche jetzt mal herauszufinden, was denn davon ein Hochpunkt und welches ein Tiefpunkt ist. Und wenn du das weißt, dann kannst du Aufgabe b) lösen.

Ich bin gepsannt. Wink
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

ok wir haben die Extrema ja gerundet. Sie heißen 6 und 2

nun würde ich wie folgt vorgehen:

HB: f''(t) 0

f''(6) = 6*6-24 = 12 lok min.
f''(2) = 6*2-24 = -12 lok max.

jetzt noch in f einsetzen, um die koordinaten zu bekommen

f(t) = t³-12t²+35t
f(6) = -6
f(2) = 30


lok min (12/-6) lok max (12/30)

kommt eig hin soweit
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xXDaveXx
ok wir haben die Extrema ja gerundet. Sie heißen 6 und 2

nun würde ich wie folgt vorgehen:

HB: f''(t) 0

f''(6) = 6*6-24 = 12 lok min.
f''(2) = 6*2-24 = -12 lok max.

jetzt noch in f einsetzen, um die koordinaten zu bekommen

f(t) = t³-12t²+35t
f(6) = -6
f(2) = 30

Hier hast du deine f(t)- Werte richtig berechnet.


lok min (12/-6) lok max (12/30)


Das kann leider doch garnicht sein. Erinnere dich nochmal , welche t uns eigentlich nur für diese Funktion interessieren.



Außerdem hast du da seltsamer weise für den ! selben ! t - Wert jeweils den Hochpunkt UND den Tiefpunkt angegeben. Daran hättest du also sofort merken können, dass da etwas nicht stimmt. Augenzwinkern


kommt eig hin soweit




Deine Punkte sehen also wie folgt aus:

HP : ( ??? / 30 )

TP : ( ??? / -6 )

Schaffst du es mir die Freude zu machen und die ??? richtig auszufüllen? Bei welchen t Werten hatten wir denn nochmal unsere Extrema gefunden? Augenzwinkern
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

oh man bin ich doof LOL Hammer

HP : ( 2 / 30 )

TP : ( 6 / -6 )
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Jeder kann sich mal vertahn. Augenzwinkern

Jedenfalls passt das so.

Jetzt lies dir nochmal ganz genau die Fragestellung durch. Kannst du diese Frage schon beantworten?

Wenn du es noch nicht kannst, dann versuche doch einmal die Kruve dieser Funktion im Intervall [ 0 / 7 ] grob aufzuzeichnen. Es muss keine genaue Zeichnung sein sondern nur eine ungefähre Skizze.

Tipp dazu :

Zu welchem Extrempunkt verläuft die Kurve zuerst?
Und zu welchem danach?
Und wie sieht die Kurve wohl nach dem zweiten Extrempunkt aus?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine schnellen Antworten und dein Verständnis Big Laugh smile

also als erstes verläuft der Graph in Richtung HP und dann in Richtung TP
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist richtig. Du kannst es aber sogar noch viel präziser ausdrücken. Und das wird nämlich auch in der Aufgabenstellung von dir gefordert!

Es ist gefragt, zu welchen Zeitpunkten denn die Kurve steigt bzw. sinkt.

Das kannst du natürlich anhand von Intervallen angeben. Also a la

Von [ a bis b ] steigt die Kurve
Von [ b bis c ] sinkt die Kurve etc.

Wie sehen deine Intervalle hier aus und bei welchem Intervall sinkt und bei welchem steigt die Kurve und damit die Zuflußgeschwindigkeit?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Von [0-2] und von [2-6] sinkt sie ?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

schwachsinn Big Laugh von [0-2] steigt sie und von [2-6] sinkt sie
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt. ^^
Und was macht sie wohl logischerweise dann noch von [6-7] ?

Ok, nachdem wir nun also a) und b) erledigt haben, wenden wir uns der Aufgabe c) entgegen. Aber halt ! Nicht vergessen meine Frage oben zu beantworten. Augenzwinkern

Zu c) Erst nochmal die Aufgabenstellung

c.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Zulauf im betrachteten Zeitintervall maximal?

Bevor ich irgendwas raushaue : Irgendwelche Ideen?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

also ich denke vom Zeitpunkt [6-7] ändert sich die Wassermenge nicht?

ich denke beim Zeitpunkt [2/30] ist der Zufluss maximal?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von xXDaveXx
also ich denke vom Zeitpunkt [6-7] ändert sich die Wassermenge nicht?

Nein mein Freund da irrst du dich. smile Was gibt denn deine Funktion f(t) an? Gibt es die Wassermenge an oder gibt es an, wie schnell das Wasser in das Becken fließt? Nochmal nachsehen, wasn denn f(t) angibt, sowas zu wissen ist immer lebensnotwendig bei solchen Aufgaben! smile

Überleg mal folgendes :

Wenn die Zuflußgeschwindigkeit von [2-6] sinkt und bei 6 haben wir einen Tiefpunkt, kann es danach nach weiter runter gehen? Oder geht es danach nicht rauf? Als kleinen Hinweis habe ich dir mal die Funktion angehängt. Schau sie dir an. ^^


ich denke beim Zeitpunkt [2/30] ist der Zufluss maximal?

Mit dieser Antwort hast du c) erledigt. Super. smile Freude



xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

f(t) gibt die Zuflussgeschwindigkeit in m³/h an

ok also.. da es ja ein Auffangbecken ist, kann es auch wieder wasser aufnehmen und es muss sogar steigen da ja beim zeitpunkt 7 eine Nullstelle ist
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau!

Ok dann machen wir mit der etwas schwereren Aufgabe d weiter. Hier nochmal die Aufgabenstellung :

d.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Wasserspiegel im Becken am höchsten bzw. am niedrigsten?


Irgendwelche Ideen?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

also zu dem Zeitpunkt 5 und 7 könnte sie am höchsten sein, da es die Stellen sind wo weder Wasser abfließt noch dazukommt. Vorher kommt ja noch wassser dazu und nachher fließt noch wasser ab
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau so schauts aus. smile

Na dann war das wohl doch nicht so schwer wie ich zuerst vermutet hatte. smile

Ob ich wohl das Bild lieber nicht angehängt haben sollte und es dir dadurch zu leichte gemacht habe? ^^ Naja sein es drum.

Ok also dann kannst du mir ja bestimmt auch sagen, wann am meißten Wasser im Becken ist und wann am wenigsten richtig? ^^
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, also ich kann es tun Big Laugh zum Zeitpunkt t = 5 am meisten Wasser und zum Zeitpunkt t = 6 am wenigsten, richtig?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Halbrichtige Antwort habe ich von dir erwartet hihihi smile

Du hast damit Recht, dass zum Teitpunkt t = 5 am meisten Wasser im Becken ist.

Was das wenigste Wasser betrifft:

Denk nochmal darüber nach, wieviele Nullstellen f(t) hat. Welche Nullstellen hat f(t) denn alles?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

klar, der Graphen täuscht nur Big Laugh es fließt zwar zum Zeitpunkt t = 6 Wasser ab aber auch noch bis zum Zeitpunkt t = 7, die zugleich eine Nullstelle ist. Somit ist dort am wenigsten im Becken
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Nein mein Freund , leider nicht. Du übersiehst da etwas.

Du bist auf der richtigen Spur damkit, dass die Nullstellen dieser Funktion etwas damit zu tun haben müssen.

Als wir zu Beginn bei den Nullstellen waren ,hast du ja sozusagen die erste Nullstelle sofort gesehen und aus der Formel gekickt. Und das offensichtlich ohne zu sehen, dass du da auch eine Nullstelle hattest.

Schreib deine Funktion f(t) nochmal hin und errechne ganz stupide die Nullstellen. Ich gab dir ja mal in einen meiner ersten Postings den Hinweis, dass du nicht nur 2 Nullstellen hast...

Und wenn du es dann immer noch nicht verstanden hast, dann schau dir nochmal den Graphen an und geh mal alle Nullstellen durch.



Und da ich erste heute Abend so um 20 Uhr oder vielleicht später wieder da bin gebe ich dir schonmal zum letzten Aufgabenteil einen Tipp :

Es ist die Rede von einer etremen Änderung der Änderungsrate!
Was könnte wohl damit gemeint sein?

Dann viel Glück und bis heute Abend. Wink Freude
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, ich hab übersehen das t= 0 auch eine Nullstelle ist und somit ist dort am wenigsten Wasser im Becken. Bei der letzten aufgabe denke ich das von einer Wendestelle die Rede ist?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja richtig , zu Beginn befindet sich am wenigsten Wasser im Becken.

Und du hast auch Recht, dass es sich bei der letzten Aufgabe um die Wendetsellen handelt.

Dann berechne die mal. ^^
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

aye aye sir !

NB: f''(t) = 0

f''(t) = 6t-24
-> 6t-24 = 0 / : 6
-> t-4 = 0
t = 4

HB: F'''(t) 0

f'''(4) = 6

f(t) = t³-12t²+35t
f(4) = 64-192+140
f(4) = 12

also ist die Wendestelle (4/12)
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt. Die größte Änderung findet also nach 4 Stunden statt.
Wir haben bisher immer alle Punkte ausgerechnet. Also den t-Wert und den dazugehörigen f(t)- Wert. Allerdings hätte t = 4 für diese Aufgabe bereits ausgereicht. Man muss nicht immer den f(t) ebenfalls berechnen.


Ok nachdem wir nun also die ganze Aufgabe durch haben wollte ich dir einfach mal ein paar generelle Tipps zu solchen Kruvendiskussionen geben. Denn wie du vielleicht schon weißt, gibt es immer ganz signifikante Schlüsselwörter, an denen man erkennen kann, was der Aufgabensteller in der jeweiligen Aufgabe von dir erwartet.


Hier nehmen wir mal die ganzen Aufgaben hier als Beispiel.

Ein Auffangbecken eines Klärwerks wird mit Wasser gefüllt, wobei der Zulauf sich durch die Funktion f mit f(t) = t³-12t²+36t, t [0/7] beschreiben lässt. Dabei ist t die Zeit in Stunden und y bzw. f(t) die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in m³/h. Ein negativer Funktionswert bedetet, dass Wasser aus dem Becken abfließt.

Zuallererst einmal was den Text angeht, in welchem dir Informationen angegeben werden wie die Funktion etc.

Es ist immens wichtig, dass du dir immer darüber im Klaren bist, was genau x / t oder sonst was beschreibt und meistens noch viel viel wichtiger : Was gibt f(x) an? Man darf nie damit durcheinander kommen, ob zum Beispiel f(x) die Wassermenge angibt oder aber nur die Zulaufgeschwindigkeit !!!
In meinen alten Abizeiten waren da nämlich immer mal wieder in den Aufgabenstellungen ein paar Fallen eingebaut, wenn man sich das nicht genau vor Augen geführt hatte.

Der Wertebereich hilft einem in zweierlei Dingen :

Zum einen kannst du falsche Ergebnisse ganz schnell aufdecken, wenn sie auf einmal nicht mehr in deinem Wertebereich liegen. Oder aber man muss auf bestimmte Fragen antworten, das es kein Ergebnis gibt, weil das Ergebnis nicht im Wertebereich liegt.
Außerdem kann einem ein Bildchen oft weiterhelfen. Ist deine Funktion also auf einem solchen Intervall begrenzt, so kann man ganz schnell mal kurz ne Wertetabelle erstellen und die Kurve skizzieren. So erkennt man schnell, ob die Extrema die man herausbekam auch richtig sind.

a). Zu welchen Zeitpunkten ändert sich die Wassermenge im Becken nicht?

Wenn sich etwas nicht ändert, dann ist irgendein Wert = 0.
In diesem Fall war es f(t) selber.

b.) In welchen Zeiträumen steigt bzw sinkt der Wasserspiegel im Becken ?

Wenn von Zeit ! räumen ! die Rede ist, dann geht es immer um irgendwelche Intervalle. Und wenn dann noch Steigung bzw. Fall in irgendwelchen Intervallen vorliegen soll, dann sollst du in der Regel die Kurve beschreiben.

c.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Zulauf im betrachteten Zeitintervall maximal?

Das Wort maximal muss einen sofort auf irgendwelche Extremstellen bringen!!!

Wenn nur im Wertebereich gefragt ist und du findest eine Extremstelle außerhalb des Wertebereichs hast du in der Regel einen Fehler gemacht!

d.) Zu welchem Zeitpunkt ist der Wasserspiegel im Becken am höchsten bzw. am niedrigsten?

Hier auch wieder 2 Schlüsselwörter für Extremstellen!!! Vermutlich auch die Wichtigsten überhaupt.

e.) Gib die Zeitpunkte an, an denen sich der Zulauf besonders stark ändert.

Eine besonders starke Änderung? Na das sind natürlich die Wendestellen !!! Auch eine sehr oft vorkommende Formulierung, welche man sofort erkennen sollte!


Ok ich hoffe ich habe dich jetzt nicht mit so viel Lesen überfordert. Big Laugh
Das sind aber jedenfalls so ein paar grundlegende Dinge, welche man bei solchen Kurvendiskussionen beachten muss. Denn man muss immer dazu in der Lage sein zu erkennen, welche Punkte denn mit welchen Wörtern oder Formulierungen gebracht werden. Also nicht einfach eine Kurvendiskussion drauf los anfangen sondern ganz klar das errechnen, was in der jeweiligen Aufgabenstellung erwartet wird!

Denn daum geht es bei diesen Aufgaben!!!

Also wenn du noch Fragen haben solltest, gerne her damit.

MfG : Der genug geschrieben habende Reneee. smile

ps : Habs mir noch mal durchgelesen und ich entschuldige mich für die ganzen Rechtschreib- / Grammatikfehler. Big Laugh
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine sehr gute Hilfe smile und danke für deine Mühen!! ich werde mir diesen Text speichern und gut aufbewahren smile Danke Danke Danke
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