Herleitung der Formel für den Annahmebereich

01.09.2010, 18:59	Krisha247	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Formel für den Annahmebereich Meine Frage: Im Unterricht haben wir die Formel AB=[my-1,96sigma;my+1,96sigma] mit P(k \in AB)=95%, kennengelernt. Wie kommt man auf diese Formel? Meine Ideen: wie ich gesehen hab, wird die 1,96 je nachdem auch durch andere Zahlen ersetz, die man in Tabellen nachgucken kann. Aber was bedeuten diese Zahlen und wovon hängt es ab, welche man benutzt?
02.09.2010, 14:10	Zellerli	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann diese Zahlen benutzen, weil man voraussetzt, dass es sich um eine Normalverteilung handelt. Ich mache das mal für ein $\begin{eqnarray} 1 \sigma \end{eqnarray}$ -Intervall vor. Das wird bei dir sicher auch drinstehen mit $\begin{eqnarray} 68% \end{eqnarray}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wert in einem gewissen Bereich auftritt, kann man mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ berechnen. Die ist etwas üppig und hässlich, aber hängt außer von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nur von $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ab. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist dabei die obere Grenze deines Wahrscheinlichkeitsbereichs: Diese Funktion spuckt dir immer die Wahrscheinlichkeit dafür aus, dass ein Wert zwischen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ und deinem $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ liegt. Mehr kann man nicht direkt berechnen. Das heißt, wenn du Bereiche haben willst von sagen wir $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ oder von $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ oder von $\begin{eqnarray} \mu - 1 \cdot \sigma \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mu + 1 \cdot \sigma \end{eqnarray}$ , musst du dir den gewünschten Bereich aus berechenbaren Wahrscheinlichkeiten basteln. Berechenbar sind immer Wahrscheinlichkeiten von $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bis irgendwohin (das irgenwohin nennen wir $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ). Der gesuchte Bereich von $\begin{eqnarray} \mu - 1 \sigma \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mu + 1 \sigma \end{eqnarray}$ erhält man wie folgt: Zunächst berechnet man $\begin{eqnarray} P(-\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mu + 1 \sigma) \end{eqnarray}$ . Jetzt hat man natürlich zu viel, nämlich den ganzen Brocken unterhalb der $\begin{eqnarray} \mu - 1 \sigma \end{eqnarray}$ . Also zieht man ihn einfach ab: $\begin{eqnarray} P(-\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mu + 1 \sigma) - P(-\infty \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} \mu - 1 \sigma) \end{eqnarray}$ . Übrig bleibt genau der gesuchte Bereich. Ich habe hier ein Bild angefügt, das zeigt den gesuchten Bereich. http://www.roulettesystem.de/bilder/1b-088.gif Was kommt da nun für ein Wert raus? Das ist jetzt das schöne. Wenn man für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nämlich ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ einsetzt, kann man einiges zusammenfassen und kürzen. Die hässliche Formel von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ sieht so aus: $\begin{eqnarray} \Phi(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \exp\left(-\frac{1}{2} \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right) \mathrm dt \end{eqnarray}$ . Weil wir hier mit Schulmitteln arbeiten, lasse ich es mal dieses Integral rechnerisch zu lösen (wäre in diesem Fall aber auch nicht so wild, wobei von "rechnerisch" kaum eine Rede sein kann). In der Schule hat man deshalb ein Tafelwerk, in dem man sich den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{t - \mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ ausrechnet und dann für die ausgerechnete Zahl einen Wert nachschlagen kann. Setzt man nun für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zunächst $\begin{eqnarray} \mu + \sigma \end{eqnarray}$ ein, so erhält man $\begin{eqnarray} \frac{\mu + \sigma - \mu}{\sigma}=\frac{\sigma}{\sigma}=1 \end{eqnarray}$ nachgeschlagen erhält man $\begin{eqnarray} \Phi=0,84134 \end{eqnarray}$ . Von diesem Bereich muss man noch den unteren Zipfel abziehen, also muss man noch $\begin{eqnarray} \Phi(\mu - \sigma) \end{eqnarray}$ nachschlagen. Zunächst berechnet man $\begin{eqnarray} \frac{t-\mu}{\sigma} = \frac{\mu - \sigma - \mu}{\sigma}=-1 \end{eqnarray}$ . Oft kann man das nicht direkt nachschlagen und muss sich über die Symmetrie helfen: $\begin{eqnarray} \Phi(-1)=1- \Phi(1)=0,15866 \end{eqnarray}$ . Für die Differenz $\begin{eqnarray} \Phi(\mu + \sigma) - \Phi(\mu -\sigma) \end{eqnarray}$ kommt dann rund $\begin{eqnarray} 68% \end{eqnarray}$ heraus. Für deine $\begin{eqnarray} 95% \end{eqnarray}$ hat man einfach bereits als Ergebnis $\begin{eqnarray} 95% \end{eqnarray}$ eingesetzt. Und dann kann man nachschauen welcher Tabellenwert dazu passt und ausrechnen, welches Vielfache von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ man einsetzen muss, dass diese Wahrscheinlichkeit herauskommt. Man erhält $\begin{eqnarray} 1,96 \end{eqnarray}$ (gerundet). Du kannst ja zur Probe mal deine ganzen Tabellenwerte (Bereiche um $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ mit der Ausdehnung eines Vielfachen von $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ ) für $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einsetzen und nachschlagen. Hier eine Tabelle. Nicht vergessen, die Differenz zu bilden! Wenn du dir eine Skizze machst, findest du noch eine andere Möglichkeit, die gesuchten Bereiche einfacher zu berechnen. Immer an die Symmetrie der Glockenkurve denken.

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