Betragsfunktion - Wie Auflösen?

06.11.2006, 19:58	lost in math	Auf diesen Beitrag antworten »
Betragsfunktion - Wie Auflösen? Guten Abend, Ich habe ein kleines Verständnissproblem mit Betragsfunktionen, bzw. weiß ich nicht so recht, wie man richtig an sie rangeht, um sie aufzulösen. f1(x) = \|4-\|x\|\| Dazu habe ich folgende überlegungen angestellt: 1. f1(x) = \|4-(x)\| und x > 0 f1(x) = \|4-x\| und x > 0 4+x für x > 0 2 f1(x) = \|4+(x)\| und x < 0 f1(x) = \|4+x\| und x < 0 4+x für x < 0 Ich weiß nicht wie man weiter machen soll und ich bin mir ziemlich sicher, das dass alles falsch ist, deshalb bitte ich um eure Hilfe und eine kurze Erklärung.
06.11.2006, 23:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Dazu sind zwei Fallunterscheidungen - und in diesen wiederum je zwei Fallunterscheidungen nötig, also insgesamt vier. Wir fangen von "innen" an und geben nach jedem Fall immer die Ersatzfunktion an (die gegeben Funktion bezeichne der Übersicht halber nur mit f): $\begin{eqnarray} f:= \| 4 - \| x \| \| \end{eqnarray}$ a. $\begin{eqnarray} x \geq 0 \ \rightarrow \ fa: \| 4 - x \| \end{eqnarray}$ davon hängen die folgenden zwei Fälle ab: $\begin{eqnarray} x \leq 4 \ \rightarrow \ f1: 4 - x \end{eqnarray}$ , im Bereich $\begin{eqnarray} 0 \leq x \leq 4 \end{eqnarray}$ (der Bereich resultiert aus den beiden Bedingungen x größer oder gleich Null und x kleiner oder gleich 4) $\begin{eqnarray} x > 4 \ \rightarrow \ f2: x - 4 \end{eqnarray}$ , im Bereich $\begin{eqnarray} x > 4 \end{eqnarray}$ (der Bereich resultiert aus ...) Damit du auch was zu tun hast (du sollst ja dabei auch etwas selbst lernen und verstehen) deute ich die nächsten Punkte z. T. nur an, du kannst das dann selbst vervollständigen und uns deine Gesamt-Lösung bekanntgeben. b. $\begin{eqnarray} x < 0 \ \rightarrow \ fb: \| 4 + x \| \end{eqnarray}$ davon hängen die folgenden zwei Fälle ab: $\begin{eqnarray} x ... \ \rightarrow \ f3: ... \end{eqnarray}$ , im Bereich $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ (der Bereich resultiert aus ...) $\begin{eqnarray} x > 4 \ \rightarrow \ f4: ... \end{eqnarray}$ , im Bereich $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ (der Bereich resultiert aus ...) Letztendlich haben wir 4 Ersatzfunktionen f1 bis f4, wobei jede in ihrem eigenen Bereich gilt. Hinweis: Der Graph aller 4 Funktion hat die Form eines oberhalb der x-Achse liegenden "W". Gr mYthos
07.11.2006, 20:10	lost in math	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank mYthos, das du dir Zeit für mich genommen hast, um mir bei meinen Problem zu helfen. f(x) = \|4-\|x\|\| a. fa(x) = \|4-x\| für x > 0 f1(x) = 4 - x für x < 4 f2(x) = x - 4 für x > 4 b. fb(x) = \|4+x\| für x < 0 f3(x) = 4 + x für x < 4 f4(x) = x + 4 für > 4 So in etwa muss es doch dann aussehen, oder nicht?
08.11.2006, 02:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so ganz, bei f3 stimmt der Bereich nicht und f4 ist zudem falsch! Bei den Fällen a., bzw. b müssen die Ergebnis-Teilbereiche (Intervalle) noch mit der Definitionsmenge x > 0 bzw x < 0 geschnitten werden (Durchschnitt)! Daher f(x) = \|4-\|x\|\| a. fa(x) = \|4-x\| für x > 0 f1(x) = 4 - x für 0 < x < 4 f2(x) = x - 4 für x > 4 bei f1 muss noch die 0 als untere Grenze eingetragen sein, weil das Ganze ja nur für x > 0 gilt! b. fb(x) = \|4+x\| für x < 0 f3(x) = 4 + x für -4 < x < 0 f4(x) = -x - 4 für x < -4 Wie kommen wir bei f4 auf dieses Ergebnis? In \|4 + x\| ist der Ausdruck 4 + x erst dann negativ, wenn x < -4 ist! Und DANN musst du ALLE Vorzeichen innerhalb der Betragsstriche wechseln, denn der Term ist zur Gänze negativ zu nehmen, daher ist die Ersatzfunktion dort -4 - x oder, was das Gleiche ist, -x - 4 Dir bleibt jetzt, die Skizze so zu beschriften, dass jeweils die richtige Ersatzfunktion eingetragen ist! Mache auch Stichproben in jedem Bereich, z.B. für x = - 6 dieses muss lt. Intervall für f4 zutreffen, daher ist f4(-6) = -4 -(-6) = -4 + 6 = 2 Nun dieses -6 in die Originalfunktion einsetzen, es muss dasselbe herauskommen: \|4 - \|-6\| \| = \| 4 - 6\| = \|-2\| = 2 mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »