Polynom zerlegen über unterschiedlichen Körpern: Kriterium von Eisenstein

02.09.2010, 19:35

Lillli

Polynom zerlegen über unterschiedlichen Körpern: Kriterium von Eisenstein

Meine Frage:
Hallo, meine Aufgabe lautet:
Zerlege die folgenden Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(X) \end{eqnarray*}$ :
1.
$\begin{eqnarray*} P_1(X)= X^4 - 4X^3 + 6 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Für das erste Polynom habe ich das Eisenstein-Kriterium angewandt.
Zuerst habe ich überprüft, ob das Polynom $\begin{eqnarray*} P_1(X) \end{eqnarray*}$ primitiv ist. Dies ist der Fall, da $\begin{eqnarray*} 1 \in GGT(1,4,6) \end{eqnarray*}$ .

Nun wähle ich die Primzahl p=2.
Es gilt 2|4 und 2|6
außerdem 2² teilt nicht 6
und 2 teilt nicht 1.
Also ist das Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray*}$ irreduzibel nach Eisenstein für p=2.

Hier ist mein Problem, dass ich das Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(X) \end{eqnarray*}$ zerlegen soll. Hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Eisensteinkriterium

steht aber nur dass das Polynom dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.
Was ist denn da genau der Unterschied dabei und was muss ich beachten, wenn ich untersuche, ob ein Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(X) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(X) \end{eqnarray*}$ oder über sonst irgendwelchen Zahlen irreduzibel ist?
Kann ich von einem auf das andere schließen?

02.09.2010, 19:44

jester.

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Ein primitives Polynom ist genau dann über einem Integritätsring [Edit: Es muss sich um einen faktoriellen Ring handeln] irreduzibel, wenn es über dem zugehörigen Quotientenkörper irreduzibel ist. Augenzwinkern

02.09.2010, 19:54

Lillli

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hmm, also ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 ungleich 0.

Und in Wikipedia steht:
In der Algebra ist der Quotientenkörper eines Rings (mit bestimmten Eigenschaften) eine Obermenge dieses Rings, auf welche die Addition und die Multiplikation des Rings fortgesetzt werden und in der jedes Element außer 0 ein multiplikatives Inverses besitzt. Das prominenteste Beispiel sind die rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ als Quotientenkörper des Rings der ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Also sagt der Satz:
Wenn ein primitives Polynom über dem Quotientenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, ist es über einem Integritätsring irreduzibel.

Ist dann der Quotientenkörper die rationalen Zahlen und der Integritätsring die ganzen Zahlen?
Also wenn ein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, dann ist es nach dem Satz auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ irreduzibel?
Und dass es über den rationalen Zahlen irreduzibel ist habe ich ja gerade gezeigt.

Habe ich das so richtig verstanden?
Und gibt es noch andere gängige Körper bei denen ich direkt von einem auf den anderen schließen kann?

02.09.2010, 23:28

jester.

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Zitat:

Original von Lillli
Also sagt der Satz:
Wenn ein primitives Polynom über dem Quotientenkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, ist es über einem Integritätsring irreduzibel.

Nein, der Satz sagt: "Genau dann, wenn ...". Das ist ein großer Unterschied.

Zitat:

Ist dann der Quotientenkörper die rationalen Zahlen und der Integritätsring die ganzen Zahlen?
Also wenn ein Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, dann ist es nach dem Satz auch über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ irreduzibel?
Und dass es über den rationalen Zahlen irreduzibel ist habe ich ja gerade gezeigt.

Habe ich das so richtig verstanden?
Und gibt es noch andere gängige Körper bei denen ich direkt von einem auf den anderen schließen kann?

Das hast du richtig verstanden. Ich muss mich jedoch leicht korrigieren, denn die Eigenschaft des Rings, Integritätsbereich zu sein, ist leider nicht ausreichend. Der Ring muss faktoriell sein. Siehe dazu das Polynom $\begin{eqnarray*} p=3X^2+4X+3\in(\mathbb{Q}(\sqrt{-5}))[X] \end{eqnarray*}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ der Quotientenkörper des nichtfaktoriellen Rings $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ , der jedoch Integritätsbereich ist.
Über dem Körper gilt nun $\begin{eqnarray*} p=3\left(X+\frac 2 3 - \frac 1 3 \sqrt{-5}\right) \left(X+\frac 2 3 +\frac 1 3 \sqrt{-5}\right) \end{eqnarray*}$ , womit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ über dem Körper reduzibel ist. Über dem zugrundeliegenden Ring ist das Polynom jedoch offensichtlich irreduzibel, da die in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt{-5}) \end{eqnarray*}$ gefundenen Nullstellen sonst auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[\sqrt{-5}] \end{eqnarray*}$ liegen müssten, was sie jedoch nicht tun.

Von Primitivität des Polynoms kann man in diesem Ring auch gar nicht sprechen, da nicht alle Elemente darin einen ggT haben (ein wohl auf den ersten Blick überraschendes Beispiel sind die zwei Ringelemente $\begin{eqnarray*} 12 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 6+6\sqrt{-5} \end{eqnarray*}$ ).

Hier fällt das jedoch nicht so sehr ins Gewicht, da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ euklidischer Bereich und somit insbesondere faktoriell ist.

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