Polynom zerlegen in Abhängigkeit von n: Kriterium von Eisenstein

02.09.2010, 19:44

Lillli

Polynom zerlegen in Abhängigkeit von n: Kriterium von Eisenstein

Meine Frage:
Hallo meine Aufgabe lautet:
Zerlege das folgende Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(X) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2(X)= X^3 + nX + 2 \end{eqnarray*}$ (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb{N}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Wenn n eine gerade Zahl, also ein Vielfaches von 2 ist, greift das Kriterium von Eisenstein für p=2.
Es gilt dann
1. das Polynom ist primitiv.
2. 2|2 und 2|n (da n gerade) außerdem 2 teilt nicht 1 und 4 teilt nicht 2.

Also ist das Polynom irreduzibel. Ich bin mir aber nicht sicher, über welchem Körper es genau irreduzibel ist. Wie finde ich heraus, ob das über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}(X) \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist?

Probleme bekomme ich, wenn n ungerade ist, also n=1,3,5,7,9,...
Hier muss ich ja unendlich viele Fälle untersuchen. Ich komme aber irgendwie nicht drauf, ob ich welche ausschließen kann, sodass ich nur noch einige Spezialfälle untersuchen kann.
Ich suche ja die Nullstellen des Polynoms. Dies sind höchstens drei. Also habe ich für jedes mögliche n bis zu drei mögliche Nullstellen.
Das Kriterium von Eisenstein kann ich hier nicht mehr anwenden, da ich es mit ungeraden Zahlen zu tun habe und es da in diesem Fall nicht klappt.

Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich die einzelnen Fälle untersuchen kann oder wie ich herausfinde, welche Fälle ich zu untersuchen habe?

Ich freue mich über jede Hilfe.

03.09.2010, 15:38

Mulder

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RE: Polynom zerlegen in Abhängigkeit von n: Kriterium von Eisenstein
Generell brauchst du Eisenstein oder dergleichen gar nicht. Freundlicherweise soll das Polynom ja nur über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ untersucht werden.

Angenommen, das Polynom ist über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ reduzibel. Da es vom Grad 3 ist, wäre mindestens einer der Faktoren, in die das Polynom dann zerfällt, ein Linearfaktor. Das heißt, eine notwendige Bedingung dafür, dass das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ reduzibel ist, ist die Existenz einer Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Es kommen da nur endlich viele ganzahlige Nullstellen in Frage (das ist jetzt Schulmathematik). Setz die ein und guck dann mal, was n sein muss, damit es überhaupt ganzzahlige Nullstellen geben kann. n soll ja eine natürliche Zahl sein.

03.09.2010, 16:30

Lillli

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ok, also angenommen 1 ist die Nullstelle.
Dann muss gelten:
$\begin{eqnarray*} 1^3 +1n+2=0 \Rightarrow n=-3 \end{eqnarray*}$
n ist jetzt allerdings negativ. Also ist das noch keine Lösung. Ich suche also weiter.

Angenommen 2 ist die Nullstelle.
Dann muss gelten
$\begin{eqnarray*} 2^3+2n+2=0 \Rightarrow n=-5 \end{eqnarray*}$
n ist wiederum nicht in den natürlichen Zahlen.

Angenommen -1 ist Nullstelle.
Dann muss gelten
$\begin{eqnarray*} (-1)^3-n+2=0 \Rightarrow n=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich also eine natürliche Zahl n. Also kann ich das Polynom so zerlegen:
$\begin{eqnarray*} (x^3+x+2)=(X+1) \cdot (...) \end{eqnarray*}$
Das zweite Polynom (...) erhalte ich über Polynomdivision. Es ergibt sich zu (X²-X+2)

Das könnte ich jetzt natürlich für alle ganzen Zahlen durchführen. Jeweils das n berechnen, für das die ganze Zahl Nullstelle ist und das Polynom dann zerlegen.

Aber da werde ich ja nie fertig, weil es ja unendlich ganze Zahlen gibt.

Ich habe gerade noch einen Tipp zu der Aufgabe bekommen. Hier steht:
" Im ungeraden Fall reicht es zu prüfen, wann Nullstellen auftreten können. Weil der führende Koeffizient 1 ist, müssen die Nullstellen Teiler des Absolutgliedes sein. In den anderen Fällen ist das Polynom irreduzibel."

Dadurch könnte ich die Methode einfach für die Nullstellen durchführen, die Teiler von dem Absolutglied 2 sind. Also für 2,1, -1, -2.

Aber ich verstehe diesen Satz noch nicht.
"Weil der führende Koeffizient 1 ist, müssen die Nullstellen Teiler des Absolutgliedes sein. In den anderen Fällen ist das Polynom irreduzibel."
Kannst du mir den vielleicht erklären? Oder gibt es eine andere Möglichkeit, dass ich nicht bis in alle Ewigkeit rechnen muss?

03.09.2010, 18:20

Mulder

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Zitat:

Original von Lillli
Aber ich verstehe diesen Satz noch nicht.
"Weil der führende Koeffizient 1 ist, müssen die Nullstellen Teiler des Absolutgliedes sein. In den anderen Fällen ist das Polynom irreduzibel."
Kannst du mir den vielleicht erklären? Oder gibt es eine andere Möglichkeit, dass ich nicht bis in alle Ewigkeit rechnen muss?

Das ist ja gerade der Aspekt, den ich mit "Schulmathematik" meinte. Um Nullstellen von Polynomen vom Grad größer gleich 3 zu suchen, musste man ja manchmal auf Polynomdivisonen zurückgreifen. Und da musste man erstmal eine Nullstelle für raten. Erinnerst du dich daran? Und bei diesen Nullstellen nahm man eben immer die Teiler des Absolutgliedes, denn sie mussten Teiler davon sein. Zumindest bei einem normierten Polynom.

Warum das so ist: Nimm an, für unser (normiertes) Polynom gäbe es eine Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Dann sähe das in jedem Fall irgendwie so aus (machen wir ruhig mal den ausführlichen Weg über die unbestimmten Koeffizienten):

$\begin{eqnarray*} X^3 + nX+2 = (X^2+aX+b) \cdot (X+c) \quad , \quad a,b,c \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

Sieht jetzt etwas blöd aus, weil links das n steht und rechts nicht mehr, stell dir einfach vor, dass wir das für irgendeines festes n betrachten und es dafür dann so eine Zerlegung gibt.

Heißt jedenfalls, alle Koeffizienten beider Faktoren auf der rechten Seite sind ganzzahlig. Geht ja gar nicht anders. Insbesondere sind b und c ganzzahlig. Und das Produkt dieser beiden Zahlen bildet ja gerade wieder das Absolutglied des Ausgangspolynoms. Multiplizier das ruhig nochmal wieder aus, dann siehst du es. Das heißt:

$\begin{eqnarray*} b \cdot c =2 \end{eqnarray*}$

Und dann ist doch klar, dass sowohl $\begin{eqnarray*} b \mid 2 \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} c \mid 2 \end{eqnarray*}$ gelten muss, oder?

Scheiterte jetzt also wohl wirklich nur daran, dass dir dieser Punkt nicht mehr geläufig war. Deine sonstigen Gedankengänge sind jetzt alle in Ordnung. Und n=1 ist in der Tat die einzige Lösung, für die das Polynom über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ reduzibel ist. Für alle anderen n ist es irreduzibel. Die Nullstelle -2 hast du (zumindest in deinem Beitrag) noch nicht betrachtet.

04.09.2010, 13:38

Lillli

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wow, vielen Dank für die super Erklärung. Ich hab alles verstanden. Das mit der Polynomdivision wusste ich noch, nur das hier

Zitat:

Und bei diesen Nullstellen nahm man eben immer die Teiler des Absolutgliedes, denn sie mussten Teiler davon sein. Zumindest bei einem normierten Polynom.

habe ich noch nie gehört und immer schön irgendwelche Nullstellen geraden. Da hab ich wohl in der Schule kurz nicht aufgepasst...

Für die Polynomdivision rate ich also als Nullstellen nur die ganzen Zahlen die Teiler des Absolutgliedes sind unter den Bedingungen dass
- das Polynom normiert ist
- das Absolutglied eine ganze Zahl ist

Hier rate ich also 2,1,-1,-2 und berechne jeweils wie oben das passende n dazu.

Der Fall -2 fehlt oben noch. Dafür erhalte ich analog n=-3. Dies ist auch keine natürliche Zahl und fällt daher raus.

Nur für die Nullstelle -1 erhalte ich eine natürliche Zahl als n; nämlich n=1 und damit erhalte ich die einzige mögliche Zerlegung

$\begin{eqnarray*} (X^3+X+2)=(X+1) \cdot (X²-X+2) \end{eqnarray*}$

Für alle anderen n ist das Polynom irreduzibel.

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