Verständnisproblem beim Beweis der Bernoullischen Ungleichung durch Induktion

02.09.2010, 21:47	kepheus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem beim Beweis der Bernoullischen Ungleichung durch Induktion Hallo, ich habe ein Problem bei dem Beweis der Bernoullischen Ungleichung mittels Induktion. Den Lösungsweg habe ich (http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung) und das Grundprinzip der Induktion habe ich auch verstanden. Beim Induktionsbeginn beweist man die jeweilige Aussage mit dem ersten Glied und beim Induktionsschritt zeigt man dann, dass, wenn wenn die Aussage mit dem aktuellen Glied wahr ist, sie auch mit dem nächsten Glied wahr ist. Ich hätte die Aufgabe folgendermaßen gelöst: Induktionsbeginn (n=0): $\begin{eqnarray} (1 + x)^0 \ge 1 + 0 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1 \ge 1 \end{eqnarray}$ Induktionsschritt (n->n+1): $\begin{eqnarray} (1 + x)^{n + 1} = (1 + x)^n + (1 + x) \ge 1 + (n + 1) \end{eqnarray}$ Also, für n dann entsprechend auf beiden Seiten n+1 eingesetzt. Und das ist ja auch die letzte Zeile der Lösung, auf beiden Seiten. Ich verstehe aber nicht, warum die Zwischenschritte nötig sind und wie aus $\begin{eqnarray} 1 + nx \end{eqnarray}$ auf einmal $\begin{eqnarray} (1 + nx) * (1 + x) \end{eqnarray*}$ wird. Vielen Dank!
02.09.2010, 23:18	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal stimmt deine Umformung nicht. Es muss lauten $\begin{eqnarray} (1+x)^{n+1} = (1+x)^n \cdot (1+x) \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt wurde dann die Induktionsannahme verwendet. Wenn $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq 1+nx \end{eqnarray}$ also gilt, dann gilt auch $\begin{eqnarray} (1+x)^n \cdot (1+x) \geq (1+nx) \cdot (1+x) \end{eqnarray}$ Unte der Bedingung, dass $\begin{eqnarray} 1+x \geq 0 \end{eqnarray}$ ist, das ist ja in der Annahme enthalten. Oder anders: Man hat die Induktionsvoraussetzung mit (1+x) multipliziert.
06.09.2010, 09:16	kepheus1	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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