Gleichmässige Konvergenz

03.09.2010, 00:24

Leo2010

Gleichmässige Konvergenz

Ich hätte eine Frage zu einem Beispiel:

$\begin{eqnarray*} M = \mathbb R_{>0} \ , \ f_n(x) = \frac{1}{nx} \end{eqnarray*}$
Dann gilt:
(a) f_n konvergiert gleichmässig nach 0 (für n --> oo) auf [c, oo[ für alle c > 0
(b) f_n konvergiert nicht gleichmässig nach 0 (für n --> oo) auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{>0} \end{eqnarray*}$

Wo ist hier der Unterschied? :S

03.09.2010, 00:55

giles

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Der Unterschied ... zwischen was? Gleichmäßiger und nicht-gleichmäßiger Konvergenz oder zwischen der ersten und zweiten Funktion?

03.09.2010, 13:51

Leo2010

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Wenn du so fragst: zwischen beiden..
Eigentlich hätte ich nur zwischen (a) und (b) gedacht..aber wenn du mir evtl kurz und prägnant den Unterschied zwischen gleichmässiger und nicht-gleichmässiger (ist das nicht die punktweise) Konvergenz erklären könntest, würde ich natrülich nicht nein sagen smile

03.09.2010, 17:42

giles

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Gleichmäßige Konvergenz bedeutet, dass du für alle epsilon ein n finden kannst, so dass die Funktion sich auf dem ganzen Definitionsbereich höchstens um epsilon von der Grenzfunktion unterscheidet. Anschaulich liegen alle Funktionswerte in einem epsilon-schlauch um die Grenzfunktion.

Die Funktionsvorschrift ist auf $\begin{eqnarray*} ]0,\infty[ \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig, weil du in dem Definitionsbereich eine Punktfolge z.B. $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wählen kannst, dann unterscheidet sich für diese Punkte die Funktion immer um 1 zur Grenzfunktion.

03.09.2010, 23:29

Leo2010

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Vielen Dank!

Ah - ich dachte, weil IR_{>0} steht, wäre da die 0 nicht mehr mit dabei, was das Intervall angeht..ist das nicht so? :S

Hättest du evtl. noch je ein möglichst anschauliches Beispiel für eine gleichmässig konvergente und eine punktweise konvergente Funktion?

03.09.2010, 23:53

giles

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Die 0 ist auch nicht mehr dabei, das wäre auch garnicht definiert. Du kannst aber beliebig nah an 0 ran und das genügt schon völlig.

Die von dir angegebene Funktionenfolge ist schon sehr anschaulich. Um dir den Unterschied klar zu machen nimm dir z.B. eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ die gleichmäßig gegen ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ geht, und betrachte

$\begin{eqnarray*} \mathbb{I}_{[n,n+1]}(x):=\begin{cases}<br /> 1 & x\in[n,n+1]\\<br /> 0 & \text{sonst.}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Das ist ein 1 hoher Hügel der mit n über die reelle Achse wandert.

$\begin{eqnarray*} g_n(x) := f_n(x) + \mathbb{I}_{[n,n+1]}(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt immer noch $\begin{eqnarray*} g_n \to f \end{eqnarray*}$ punktweise, aber nicht mehr gleichmäßig, dann es unterscheidet sich für jedes $\begin{eqnarray*} g_n \end{eqnarray*}$ im Intervall [n,n+1] noch um mindestens 1 von der Grenzfunktion. Es geht noch punktweise gegen f, weil für hinreichend große n der Punkt x den du betrachtes nicht mehr in [n,n+1] liegt.

Ein weiteres konkretes Beispiel ist die geometrische Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0} ^\infty x^n = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Diese konvergiert nicht gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} ]-1,1[ \end{eqnarray*}$ eben weil sie dort unbeschränkt ist (ähnlich wie bei deiner ersten Funktion). Allerdings konvergiert sie für $\begin{eqnarray*} a<1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [-a,a] \end{eqnarray*}$ gleichmäßig, eben weil die Funktion dann nicht mehr beliebig groß werden kann.

04.09.2010, 00:17

Leo2010

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Zitat:

Original von giles
Die 0 ist auch nicht mehr dabei, das wäre auch garnicht definiert. Du kannst aber beliebig nah an 0 ran und das genügt schon völlig.

Okey, aber bei meinem Beispiel (a) - dort heisst es ja einfach c>0 - ich kann also auch beliebig nahe an 0 gehen, und trotzdem ist (a) glm. konvergent, (b) aber nicht..

04.09.2010, 00:30

giles

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Zitat:

Okey, aber bei meinem Beispiel (a) - dort heisst es ja einfach c>0 - ich kann also auch beliebig nahe an 0 gehen, und trotzdem ist (a) glm. konvergent, (b) aber nicht..

Ich frage mich wirklich warum ich mir so viel Mühe gebe nur damit du danach mit so einem Einzeiler kommst über den du offenbar nicht wirklich nachgedacht hast...

Nein, du kannst nicht beliebig nah an 0 heran. Du kannst immer nur bis c und nie weiter. c kann beliebig nah an 0 gesetzt werden, aber der entscheidene Unterschied ist, dass du c nicht variieren kannst sondern musst es festlegen und kannst *danach* die Eigenschaften der Funktion untersuchen. Du kannst $\begin{eqnarray*} c=10^{-1000^{1000^{1000}}} \end{eqnarray*}$ wählen, aber dann ist deine Funktion auf dem Untervall trotzdem (mit einer sehr großen Konstante) beschränkt und die Folge geht gleichmäßig gegen 0.

04.09.2010, 18:35

Leo2010

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Ahhhh - tut mir Leid!
Jetzt habe ich es verstanden, was du gemeint hast! smile

Sorry, ich habe das wirklich noch nicht vollständig überlegt, wie das mit dem "c" ist - aber jetzt ist alles gut! Danke!

Eine abschliessende Frage hätte ich allerdings noch:
Wie kann man sich folgende Funktion auf [0,1] vorstellen?
$\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \ , \ x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 \ , \ 0 < x \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \ , \ \frac{1}{n} < x \leq 1 \end{eqnarray*}$

05.09.2010, 02:08

giles

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Mal dir doch mal die ersten 3 Funktionen hin, die sich nach dieser Vorschrift ergeben, dann siehst du das schon.

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