Überdeckung, Normen

03.09.2010, 11:56

Leo2010

Überdeckung, Normen

Guten Tag miteinander!

Ich hätte zwei grundlegende Fragen:

1.) Das Prinzip der Überdeckung - könnte mir das jemand (evtl. anhand eines Beispiels) erklären?

2.) Vielfach werden Normen verwendet, also sowas wie:
$\begin{eqnarray*} || f(b) - (f(a) + f'(a)(b-a)) ||_Y \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} || f_n - f ||_\infty \end{eqnarray*}$
..aber was hat das jeweils genau zu bedeuten, bzw. was ist der Unterschied zur "Rechnung" ohne diese Norm?
[..oder bedeutet das, dass einfach die Norm-Eigenschaften gelten?]

..herzlichen Dank für die Aufklärung und einen schönen Tag!

03.09.2010, 18:49

system-agent

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Die erste Frage solltest du genauer stellen. Überdeckung von was mit was?
Vielleicht eine Menge durch offene Mengen? [um damit zur Kompaktheit zu kommen]

Naja, du solltest wissen was eine Norm denn ist [Definition?]. Kurz gesagt ist es eine Methode, um einem Vektor eine Länge zuzuordnen.
Wieso man das tut?
Der Abstand zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ kann man definieren als $\begin{eqnarray*} \|v-w\| \end{eqnarray*}$ , und das ist der Abstand dieser beiden Vektoren bezüglich dieser Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ .
Wechselt man die Norm, kriegt man im Allgemeinen andere Abstände. Ohne Norm kann man nicht nach Abständen fragen. Will man aber zb. über Konvergenz sprechen, dann nutzt man zb oft Aussagen über den "Abstand" von Folgengliedern zu einem vermeintlichen Grenzwert, also nutzt man die Norm.

Aber bevor man eine Norm hat, muss man ersteinmal sagen wo diese definiert ist, also auf welchem Vektorraum:
Zb auf dem Vektorraum $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ hat man die Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_Y \end{eqnarray*}$ [der Index soll nur Aussagen, dass man hier die Norm aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ meint].

Wie eine gewisse Norm definiert ist, muss man immer dazuschreiben.

03.09.2010, 21:40

Leo2010

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Zitat:

Original von system-agent

Wie eine gewisse Norm definiert ist, muss man immer dazuschreiben.

..wenn aber nur steht, dass es sich (z.B. bei $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_Y \end{eqnarray*}$ ) um einen normierten VR handelt, so meint man damit einfach, dass die Eigenschaften eines normierten VR's gelten sollen?

..zudem: Hat $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_Y \end{eqnarray*}$ z.B. etwas mit $\begin{eqnarray*} ||x||_2 := \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{\infty} |x_k|^2 } \end{eqnarray*}$ zu tun? :s

03.09.2010, 21:42

Leo2010

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Zitat:

Original von system-agent
Vielleicht eine Menge durch offene Mengen? [um damit zur Kompaktheit zu kommen]

Ja, genau.

03.09.2010, 22:25

system-agent

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Zitat:

Original von Leo2010
..wenn aber nur steht, dass es sich (z.B. bei $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_Y \end{eqnarray*}$ ) um einen normierten VR handelt, so meint man damit einfach, dass die Eigenschaften eines normierten VR's gelten sollen?

Wenn, dann steht da, dass das Paar $\begin{eqnarray*} (Y,\| \cdot \|_Y) \end{eqnarray*}$ ein normierter Vektorraum ist und das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist und $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_Y \end{eqnarray*}$ irgendeine Norm auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ .
Das bedeutet du hast die Information dass es eine Norm ist und du kannst alle Eigenschaften nutzen, die für alle Normen gelten [dh die Eigenschaften der Definition einer Norm].

Natürlich im konkret etwas ausrechnen zu können muss man die Norm konkret beschrieben haben.

Falls dich der Index $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ irritiert, der ist nur dazu da um zu sagen, dass hier die Norm aus $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gemeint ist.
Zb. betrachtest du noch einen Vektorraum $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und dann könnte man die Norm auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_X \end{eqnarray*}$ bezeichnen und man kann beide wunderbar auseinanderhalten.
Ein solcher Fall wäre zb hier: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X\to Y \end{eqnarray*}$ heisst Lipschitzstetig, falls
$\begin{eqnarray*} \| f(x_1)-f(x_2)\|_Y\leq L\|x_1-x_2\|_X \end{eqnarray*}$ gilt mit usw usw .

Zitat:

Original von Leo2010
..zudem: Hat $\begin{eqnarray*} || \cdot ||_Y \end{eqnarray*}$ z.B. etwas mit $\begin{eqnarray*} ||x||_2 := \sqrt{ \sum\limits_{k=0}^{\infty} |x_k|^2 } \end{eqnarray*}$ zu tun? :s

Ja und nein.
Wenn dir jemand sagt, dass sie/er auf $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm betrachten will, dann ist mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_Y \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ gemeint.
Solange dir das niemand sagt, ist einfach irgendeine Norm gemeint.

Zur Kompaktheit:
Was genau verstehst du denn nicht?

04.09.2010, 16:29

Leo2010

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Genau, das X bzw. Y hat mich jeweils irritiert - und tut es irgendwie immer noch..
Liege ich falsch, dass man im Grunde ganz "normal" rechnet?
Mein Problem liegt darin, dass in meinem Skript diese Normen relativ häufig verwendet werden - und ich nie genau verstehe, warum man die Norm schreibt.. (ich lasse sie nämlich meist weg, wenn ich etwas selbst beweise..)

Zum zweiten Teil:
Ah genau - das ist die euklidische Norm - stimmt, vielen Dank!

Zur Kompaktheit:
Ich habe den Wikipedia-Artikel nochmals ganz genau gelesen..dort wird das Prinzip der Überdeckung ja auch erklärt - und zwar so, dass sich mein "Problem" nun gelöst hat smile

04.09.2010, 17:29

system-agent

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Stell dir mal vor wir wollen über zwei Vektorräume $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ reden.
Irgendwann kommen wir darauf, dass diese Vektorräume normiert sein sollen. Also jeder soll eine Norm haben - irgendeine. Dann taufen wir die Norm auf $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_V \end{eqnarray*}$ und diese auf $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_W \end{eqnarray*}$ .
Diese sind einfach nur Namen, nichts weiter. Das heisst wir haben nichts näheres über die Normen gesagt, nur dass es Normen sind und wir haben ihnen Bezeichnungen/Notationen verpasst.
Der Index sagt dir einfach welche Norm gemeint ist, diese von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ oder diese von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ .

Manche häufig verwendeten Normen tragen auch solche Indizes. Dann meint der Index nicht den Raum wo die Norm definiert ist, sondern welche dieser häufig verwendeten Normen man meint.
Zb. meint $\begin{eqnarray*} \| v\|_2 \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm des Vektors $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .
Dagegen definiert man häufig auch $\begin{eqnarray*} \|v\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ als den grössten Eintrag des Vektors $\begin{eqnarray*} v=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \|v\|_{\infty}:=\max\{|v_i|\,\,:\,\,i=1,...,n\} \end{eqnarray*}$ .

Wieso man die Norm nimmt in gewissen Situationen?
Immer dann, wenn man Eigenschaften der Norm benötigt. Wie zum Beispiel Konvergenz:
Dort sind Normen extrem hilfreich. Vor allem weil man damit Konvergenz mithilfe der Normen ausdrücken kann, man also letztendlich via die Norm mit reellen Zahlen hantiert - anstatt mit abstrakten Vektoren.

Natürlich ist die ganze Erklärung ziemlich vage bis du ein konkretes Beispiel lieferst.

04.09.2010, 17:55

Leo2010

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Wow - vielen Dank, das hat nun doch ziemlich viel Licht ins Dunkle gebracht! smile

Das mit der Konvergenz würde mich wunder nehmen. Ich habe hier auch ein Beispiel, welches (glaube ich) gerade hierzu passt:

[attach]15924[/attach]

Hier wird die X-Norm verwendet - ich persönlich hätte sie beim Beweisen nicht geschrieben - aber eben: Handelt es sich hierbei um die Konvergenz?
(die letzte Norm kann man sowieso weglassen, da es sich ja einfach um eine Zahl handelt, oder?)

04.09.2010, 19:36

system-agent

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Ja, hier geht es um Konvergenz.
Hier will man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{F(\alpha+h)-F(\alpha)}{h}-f(\alpha) \end{eqnarray*}$ den Grenzwert Null hat für $\begin{eqnarray*} h\to0 \end{eqnarray*}$ .
Nach der Definition des Grenzwertes muss man also zeigen, dass sich diese beiden Vektoren von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ klein genug beliebig nahe kommen.

Formaler:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ muss man ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ finden können derart, dass
$\begin{eqnarray*} \left\|\frac{F(\alpha+h)-F(\alpha)}{h}-f(\alpha)\right\|_X<\epsilon \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} |h|<\delta \end{eqnarray*}$ .
Aus den Eigenschaften der Norm folgt dann, dass die Vektoren gleich sein müssen [das war die Sache der Definition mit " $\begin{eqnarray*} \|x\|=0\Leftrightarrow x=0 \end{eqnarray*}$ "]

Übrigens wurde hier die Norm in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ bezeichnet, denn man will sowieso die Standardnorm haben - eben den Betrag. Sprich die Norm die man für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nutzt ist konkret gegeben, also schreibt man auch lieber gleich welche gemeint ist.
Dagegen soll $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_X \end{eqnarray*}$ eine beliebige Norm auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bezeichnen und der Index gibt nur an, dass ebendiese von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemeint ist.

Und ja, es gibt einen kleinen Fehler, es muss
$\begin{eqnarray*} ...\leq\frac{1}{|h|}\left\|\int\limits_{\alpha}^{\alpha+h}(f-f(\alpha))\right\|_X\leq\frac{1}{|h|}\left|\int\limits_{\alpha}^{\alpha+h}\|f-f(\alpha)\|_X\right|\leq\frac{1}{|h|}\left|\int\limits_{\alpha}^{\alpha+h}\epsilon\right|=... \end{eqnarray*}$
heissen, da die Integrale über $\begin{eqnarray*} \|f-f(\alpha)\|_X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ reellee Zahlen sind und keine Elemente von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ .

04.09.2010, 21:51

Leo2010

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Super, vielenvielen Dank für diese guten Beiträge!

Eine abschliessende Frage hätte ich aber noch: Ich habe erwähnt, dass ich diese Normen oftmals nicht kennzeichne (da in meinen Beweisen die Norm meist "klar" ist..) - was denkst du, wird sowas an einer Prüfung als "falsch" (oder abwertend) gewertet, oder lässt man "passieren"?

05.09.2010, 07:08

system-agent

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Einzig wichtig ist, dass immer klar ist auf welchem Raum deine Norm definiert sein soll und da ist der Index eben hilfreich wenn man mehrere Räume betrachtet.
Sprich du sollst diese Dinge so kennzeichnen, dass immer klar ist welche gemeint ist.
Und wenn du eine der häufig verwendeten Normen nutzt, dann schreib das auch gleich hin, das erleichtert das lesen.

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