gebrochen rationale Funktion

03.09.2010, 18:49

milchbrötchen

gebrochen rationale Funktion

Meine Frage:
Zunächst die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-1}{6x-9}- \frac{9x-4}{8x+12}- \frac{3x+8}{4x^{2}-9 }= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Lösung wäre:

$\begin{eqnarray*} x_{1}= 2 ; x_{2}=\frac{45}{38} \end{eqnarray*}$

Ich komme jedoch trotz mehrerer Versuche nicht auf die genannte Lösung und erhoffe mir Hilfe wie ich auf die Lösung komme.

Meine Ideen:
Zunächst war mein Lösungsansatz folgender:

$\begin{eqnarray*} \frac{5x-1}{6x-9}- \frac{9x-4}{8x+12}- \frac{3x+8}{4x^{2}-9 }- \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

dann: $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \cdot (6x-9)\cdot (8x+12)\cdot (4x^{2}-9 )\cdot(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow(5x-1)(8x+12)(4x^{2}-9)(2)-(9x-4)(6x-9)(4x^{2}-9)(2)-<br /> <br /> (3x+8)(6x-9)(8x+12)(2)-(6x-9)(8x+12)(4x^{2}-9)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow-304x^{4}+176x^{3}-768x^{2}-1242x-1674=0 \end{eqnarray*}$

Die vorher vorhandenen Brüche kürzen sich ja jeweils weg.
Wenn ich jetzt allerdings die Lösung $\begin{eqnarray*} x_{1}=2 \end{eqnarray*}$ einsetze komme ich nicht auf eine wahre Aussage.

Auch die Variante, dass man durch Null setzen des Nennerpolynoms zur Lösung kommt,funktioniert bei mir auch nicht wirklich.

Über neue Ansätze wäre ich wirklich dankbar.

edit: Habe einen Zeilenumbruch für die bessere Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

03.09.2010, 18:58

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion
Dein Hauptnenner ist viel zu groß. Ohne deine Rechnung überprüft zu haben denke ich, dass dir beim Rechnen mit diesem Bandwurdmausdruck ein Fehler unterlaufen ist.

Der grundsätzliche Gedanke, mit dem HN zu multiplizieren stimmt, aber dein HN ist viel kleiner.
Vermutlich kommt dann auch die richtige Lösung raus.

smile

03.09.2010, 19:01

Rmn

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RE: gebrochen rationale Funktion
Zerlege $\begin{eqnarray*} 4x^2-9 \end{eqnarray*}$ in Faktoren und vergleiche mit anderen Nennern.

Zur Kontrolle:Poly ist $\begin{eqnarray*} -76\,{x}^{2}+242\,x-180=0 \end{eqnarray*}$

03.09.2010, 19:06

Milchbrötchen

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RE: gebrochen rationale Funktion
Also ich komme immer wieder auf die selben Zahlen. Ich rechne heute schon den ganzen Tag rauf und runter verwirrt

und kome nicht weiter....

03.09.2010, 19:09

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion
Rmn hat dir schon einen sehr deutlichen Denkanstoß gegeben.

Schau dir 4x²-9 mal genau an, es müsste dir etwas auffallen. Augenzwinkern

03.09.2010, 19:12

milchbrötchen

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RE: gebrochen rationale Funktion
Ja den habe ich gesehen, danke. Die Antworten haben sich nur überschnitten.

Bin grade am rechnen.

03.09.2010, 19:30

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion
Meine Gleichung ist kleiner also die von Rmn angegebene.

Ist mir momentant unklar, warum er da noch einen Faktor mit rumschleppt, der bei mir gar nicht auftaucht. verwirrt

edit: Liegt vermutlich an einem zu großen HN. Augenzwinkern

03.09.2010, 20:05

Milchbrötchen

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RE: gebrochen rationale Funktion
Also nach langem rumprobieren:

Gemeinsamer HN ist $\begin{eqnarray*} 8(x-\frac {3} {2})(x+\frac {3} {2}) \end{eqnarray*}$

Ausgerechnet bekomme ich dann:

$\begin{eqnarray*} -36x^{2}+189x-67=0 \end{eqnarray*}$

Allerdings komme ich beim Wurzelziehen nicht auf die Lösungen.

So langsam frage ich mich ob ich nur blind bin oder einfach zu blö..

03.09.2010, 20:19

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion
Deinen HN hast du dir aber unnötig schwierig gemacht und ganz richtig ist er auch nicht, du hast die 3 vergessen.

Der richtige HN lautet 12·(2x+3)·(2x-3)

Damit müsste die Rechnung klappen (hat sie jedenfalls bei mir).

smile

03.09.2010, 20:31

Nilevee

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RE: gebrochen rationale Funktion
Nur mal noch ne Frage, wo kommt die drei auf einmal her?

Die 2 kommt von dem $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Die 4 weil es ja in Linearfaktordarstellung heist $\begin{eqnarray*} 4x^{2}-9=4(2x-3)(2x+3) \end{eqnarray*}$
und die anderen Brüche bestehen letztlich nur aus den beiden Linearfaktoren, also woher kommt dann die 3? verwirrt

ehemals Milchbrötchen

03.09.2010, 20:54

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 4x^{2}-9=4(2x-3)(2x+3) \end{eqnarray*}$

1. Nenner: 3(2x - 3)
2. Nenner: 4(2x + 3)
3. Nenner: (2x + 3)(2x - 3)
4. Nenner: 2

smile

03.09.2010, 21:02

Nilevee

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RE: gebrochen rationale Funktion
Ok danke, macht Sinn. Ich habe mal wieder nicht mitgedacht. Ich habe für jeden Nenner die Nullstelle bestimmt ohne darauf zu achten, dass man das ja nich einfach machen kann weil ja dann die jeweiligen Faktoren wegfallen.

Danke für die Hilfe und die Geduld.

03.09.2010, 21:05

sulo

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RE: gebrochen rationale Funktion
Die Nullstellen der Nenner sind für den Definitionsbereich der Aufgabe wichtig. Augenzwinkern

Kommst du nun auf das Ergebnis?

smile

03.09.2010, 21:39

Nilevee

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RE: gebrochen rationale Funktion
Bin nun endlich drauf gekommen.... Finger1