Orthonormalbasis

Neue Frage »

Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis
hallo,

ich habe ein problem mit folgender aufgabe:

Zitat:

Es sei mit dem Skalarprodukt gegeben.
a)Bestimmen sie aus eine orthonormalbasis O.
b) Gegeben seien . Bestimmen sie

c) Schreiben sie die vektoren bezüglich der basis O.


so, die a) ist ja im prinzip nur simples anwenden des gram-schmidt verfahren, hier stimmt meine lösung auch mit der musterlösung überein. demnach ist


die b) ist ja eigentlich recht einfach, aber ich verstehe nicht so ganz, wie man auf die lösung kommt. eigentlich dachte ich, die norm wäre im prinzip die wurzel aus dem skalarprodukt, also dem skalarprodukt, was in der aufgabenstellung gegeben wurde. hier wird allerdings auf das standardskalarprodukt zurückgegriffen. warum?

laut lösung ist zb. , also

die c) müsste doch im prinzip die lösung eines einfachen LGS sein, nämlich , oder sehe ich das falsch? müssten ja dann die koordinaten von r bezüglich O sein.

ich danke euch schonmal im voraus.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor dir jemand helfen kann, solltest du erst einmal definieren, was ist.
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

sind die koordinaten des entsprechenden vektors bezüglich der in teil a) gefundenen orthonormalbasis.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Einwand zum Skalaprodukt ist zwar gerechtfertigt, aber nicht ganz richtig Augenzwinkern . Zeig doch mal, wie du es rechen würdest.

EDIT: Ich beziehe mich auf die b)
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde das in der aufgabenstellung gegebene skalarprodukt benutzen, damit wäre dann zb.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Und genau das funktioniert so nicht: Das Skalarprodukt, das bei dir definiert wurde, operiert auf Vektoren, die in der kanonischen Basis angegeben wurden:. Jetzt hast du aber einen Vektor , der nicht in der kanonischen Basisdarstellung gegeben ist, sondern in der -Koordinatendarstellung, also: .
Jetzt hast du zwei Möglichkeiten: Entweder du rechnest in kanonische Koordinaten um oder du gehst auf eine cleverere Art und Weise vor Augenzwinkern .
 
 
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

ohh danke, deshalb wird also hier das standardskalarprodukt benutzt, jetzt habe ich das verstanden smile

ist meine vorgehensweise zu der c) denn richtig?
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Sie funktioniert, allerdings geht es noch ein wenig einfacher: Denk daran, dass die Basis eine ONB ist und benutze das Skalarprodukt.
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

auf die herkömmliche art erhalte ich als lösung .

ich versuche gerade, den einfacherern weg zu finden, weil das gaußen mit wurzeln ja schon relativ lästig ist.

die basis ist eine ONB, d.h. die grammatrix, also die matrix, die das skalarprodukt beschreibt, müsste eine 3x3 einheitsmatrix sein, da die vektoren meiner ONB normiert sind und orthogonal zu einander stehen.

aber wie ich jetzt weiter komme, sehe ich noch nicht so ganz.

hast du eventuell noch einen tipp für mich?

danke schonmal für deine hilfe und geduld mit mir smile
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ein Beispiel mit der Orthonormalbasis .
Wie bekommst du die Darstellung des Vektors in dieser oben genannten Basis? (das ist nicht besonders schwer, warum?)
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

die darstellung von ergibt sich aus , und das ganze ist nicht besonders schwer, weil das die kanonische standardbasis des ist.
Duedi Auf diesen Beitrag antworten »

Und die Theorie dahinter ist folgende: Wenn ein beliebiger Vektor im ist und eine Orthonormalbasis ist (eine beliebige):

Das kannst du jetzt versuchen anzuwenden.
Caroline1986 Auf diesen Beitrag antworten »

seltsam, diese form der darstellung hatten wir gar nicht in der vorlesung, dabei ist das ganze damit doch ganz einfach dann.

es ist dann also für die erste koordinate des vektors. wenn ich das mit den anderen analog mache, erhalte ich auch die anderen koordinaten meines vektors und erhalte die selbe lösung wie durch die (weitaus umständlichere) oben von mir benutzten methode.


diese methode ist weitaus einfacher und schneller smile

vielen dank für deine hilfe Duedi, und ich hoffe, ich war nicht zu anstrengend.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »