Partitionen und Äquivalenzrelationen

06.11.2006, 21:34

Dr. Logik

Partitionen und Äquivalenzrelationen

Hallo zusammen!

Ich soll bei folgenden Partitionen jeweils die zugehörige Äquivalenzrelation angeben:

$\begin{eqnarray*} P_1 := \{ \{ y+x \mid x \in \mathbb{R}\wedge 0 \leq x < 1 \} \mid y \in \mathbb{Z}\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P_2 := \{ \{ y+x \mid y \in \mathbb{Z}\} \mid x \in \mathbb{R}\wedge 0 \leq x < 1 \} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es so, dass ich zwar weiß, was die Begriffe Partitionen und Äquivalenzrelationen bedeuten, allerdings kenne ich Parititionen bislang nur so, dass sie durch Anreihung von Paaren (bzw. n-Tupeln) angegeben werden. Deshalb hier meine Fragen:
1. Was haben also diese Partitionen zu bedeuten? (Bedeuten sie nicht, dass sie alle gleich der Menge der reellen Zahlen sind?)
2. Worin besteht genau der Unterschied zwischen der 1. und der 2. Relatnicht alle gleich der Menge der Reellen Zahlen?

Viele Grüße, Dr. Logik

06.11.2006, 21:50

Mazze

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Die Dinger kommen mir doch sehr bekannt vor. Zum Unterschied der beiden habe ich mich schon hier ausgelassen.

06.11.2006, 21:56

Dr. Logik

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Oh, sorry, Mazze!

Das hab ich wohl beim Suchen wohl irgendwie übersehen.

Aber trotzdem hab ich dann noch eine Frage dazu:

Zitat:

Das heißt ob die beiden gleich sind hängt ganz entscheident von der menge Z ab. In der ersten Menge wird das Interval [0,1) um y verschoben und in der zweiten Menge die Menge Z um eine Zahl aus [0,1) verschoben.

Ich glaube das habe ich verstanden. Wenn in meinem Fall nun Z die Menge der ganzen Zahlen darstellt, ist also P1 = P2 oder nicht? Wie lautet dann aber meine Äquivalenzrelation? Schreibt man dann dafür:

$\begin{eqnarray*} R=\{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ ???

Vielen Dank schon mal!

06.11.2006, 22:14

Mazze

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Die Mengen sind nicht gleich da die Elemente von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ verschieden sind wenn Z die natürlichen Zahlen sind zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \{1 + [0,1)\} \in P_1 \end{eqnarray*}$ aber
$\begin{eqnarray*} \{1 + [0,1) \} \notin P_2 \end{eqnarray*}$

Allerdings sind es beides Partitionen der reellen Zahlen. Wie habt ihr denn die Äquivalenzrelation bzgl. einer Partition definiert?

06.11.2006, 22:53

Dr. Logik

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Wir haben die Partition P auf der Menge M als die disjunkte Vereinigigung der Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation definiert (ich hoffe, ich habe das so richtig ausgedrückt...)

Zitat:

Original von Mazze
Die Mengen sind nicht gleich da die Elemente von $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ verschieden sind wenn Z die natürlichen Zahlen sind zum Beispiel:

In meinem Fall handelt es sich aber doch nicht um die natürlichen Zahlen, sondern über die ganzen Zahlen. Und wenn ich das Intervall [0,1) um eine ganze Zahl verschiebe ist das doch das gleiche wie wenn ich eine ganze Zahl um das Intervall [0,1) verschiebe oder? Und dann deckt diese Partition doch den gesamten reellen Bereich ab oder nicht???
Ist dann die Schreibweise $\begin{eqnarray*} R=\{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray*}$ eigentlich richtig?

06.11.2006, 23:09

Mazze

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Zitat:

In meinem Fall handelt es sich aber doch nicht um die natürlichen Zahlen, sondern über die ganzen Zahlen. Und wenn ich das Intervall [0,1) um eine ganze Zahl verschiebe ist das doch das gleiche wie wenn ich eine ganze Zahl um das Intervall [0,1) verschiebe oder? Und dann deckt diese Partition doch den gesamten reellen Bereich ab oder nicht???

Ich meinte auch die ganzen Zahlen. Du verschiebst in $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$
das Intervall [0,1) um die Zahl y während Du in $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ die ganzen Zahlen um ein fixes $\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1) \end{eqnarray*}$
verschiebst. Schau es Dir nochmal an oder zeichne es Dir auf einem Zahlenstrahl ein. Dort erscheinen die Elemente aus $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ wie Intervalle und die Elemente aus $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ wie Striche gleichen Abstands.

Ok zu der Relation:

Die Äquivalenzklassen sind jeweils die Elemente der Mengen, das heißt Du musst Dir mal die Elemente der Mengen $\begin{eqnarray*} P_1,P_2 \end{eqnarray*}$ genauer anschauen. In $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ etwa sind $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
äquivalent wenn sie beide in einer Menge $\begin{eqnarray*} \{y_0 + [0,1) \} \end{eqnarray*}$
liegen, das heißt also das $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ darstellbar sind als $\begin{eqnarray*} y_0 + x_1, \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y_0 + x_2, \end{eqnarray*}$

06.11.2006, 23:34

Dr. Logik

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Ok. Ich versuche nochmal das ganze zu verstehen (tue mich echt ziemlich schwer dabei *g*).

Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, umfasst die Relation zur Partition1 alle Elemente, die in einem Intervall $\begin{eqnarray*} [ 0,1 ) + y \end{eqnarray*}$ erfasst werden können, wobei y Element Z ist und die Relation zur Partition2 nur die Elemente, die an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 + y \end{eqnarray*}$ existieren, wobei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Element des Intervalls [0,1) ist?!

Falls das so stimmt, wie kann ich dann das als Äquivalenzrelation schreiben? verwirrt

06.11.2006, 23:41

Mazze

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Ja richtig, auf einem Zahlenstrahl wäre ein Element aus $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ ein Intervall und ein Element aus $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ eine Anzahl von Strichen gleichen abstandes.

Zitat:

nur die Elemente

Du solltest Dir klar machen das beide Partitionen die ganzen reellen Zahlen aufspannen. Die Partitionen haben zwar unterschiedliche Elemente aber es gilt

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{x \in P_1}^{} x = \bigcup_{x \in P_2}^{} x \end{eqnarray*}$

So wir wollen jetzt eine Äquivalenzrelation haben die genau die Elemente von $\begin{eqnarray*} P_1,P_2 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Wir machen es erst einmal umgekehrt, damit Du ein Gefühl dafür bekommst. Gib mal die Äquivalenzklassen von folgender Äquivalenzrelation an:

$\begin{eqnarray*} x \equiv y \Leftrightarrow x = y \end{eqnarray*}$

Dabei sind x,y reelle Zahlen. Und dann schau Dir die erzeugte Partition an.

06.11.2006, 23:58

Dr. Logik

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Hm. Da hab ich glaube ich Schwierigkeiten mit. Aber ich versuche es mal:

Wenn x=y, dann sind doch beide Elemente Repräsentanten derselben Äquivalenzklasse oder nicht? Das würde doch heißen, dass [x] =[y] gilt oder? Die Partition wäre doch dann {x} oder {y} ???

Verstehe es glaube ich noch nicht so ganz.

07.11.2006, 19:51

Mazze

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Wenn x und y in Äquivalenzrelation stehen in dem sie gleich sind, dann sehen die Äquivalenzklassen so aus:

$\begin{eqnarray*} P_{\equiv} = \{[x], x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Das heißt jeder Punkt bildet seine eigene Äquivalenzklasse verstanden?

07.11.2006, 21:20

Dr. Logik

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Hi Mazze!

Hab mir das gestern Abend nochmal alles durch den Kopf gehen lassen. Die Aufgabe ist mir jetzt sonnenklar!

P1 ist Partition der Äquivalenzrelation

~1 = "... liegt im gleichen rechts offenen Intervall mit der Länge 1 und ganzzahliger unterer Grenze wie ..."

Dabei sind die einzelnen Intervalle jeweils die Äquivalenzklassen..

P2 ist Partition der Äquivalenzrelation

~2= "... hat einen ganzzahligen Abstand von ..."

Dabei sind z.B. die Werte -3,2 ; -2,2 ; -1,2 ; -0,2 ; 0,8 ; 1,8 ; 2,8 etc. Reräsentanten einer Äquivalenzklasse!

Wobei jeweils "..." ein Element x Element R meint.

Danke vielmals für die Mühe, die du dir meinetwegen gemacht hast, um mir das alles zu erklären. Aber es hat was gebracht!!!!

Viele Grüße, Dr. Logik

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