Nullstellen und Fixpunktproblem bei f(x)=2-x+lnx

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Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen und Fixpunktproblem bei f(x)=2-x+lnx
Hi,
ich komm mit folgender Aufgabe nicht ganz klar:

Gegeben sei f:R->R f(x)=2-x+lnx

1) Begründen sie rein algebraisch, warum f genau eine Nullstelle a im Intervall I=[0,4] hat.

2) Formulieren sie das Nullstellenproblem für f um in ein Fixpunktproblem für eine geeignete Funktion g. Welche Bedingungen sollte die Funktion g erfüllen, damit eine damit gebildete Iterationenfolge gegen den gesuchten Fixpunkt von g konvergiert?


zu 1): f(x)=2-x+lnx => x=2+lnx=g(x)

Eigentlich wollte ich mit dem Mittelwertsatz zeigen, dass g(x) im Intervall I kontrahiert und dann den Fixpunktsatz von Banach anwenden. Mein Problem liegt jetzt aber darin, dass ln(0) nicht definiert ist und ich nun nich weiss wie das sonst lösen soll.



zu 2) f(x)=2-x+lnx => x=2+lnx=g(x)

es muss gelten: g(a)=a und g'(x)<1 damit die Folge gegen den FP konvergiert.

g'(x)=1/x => g'(x) ist für x>1 konvergent gegen den Fixpunkt.

reicht das oder fehlt da noch etwas?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen und Fixpunktproblem bei f(x)=2-x+lnx
Zitat:
Begründen sie rein algebraisch, warum f genau eine Nullstelle a im Intervall I=[0,4] hat.




Definiert nur für x > 0. Gefühl für die Teilfunktionen, und du findest nahe 0 ein x mit f(x) < 0. Grenzwert für x gegen unendlich betrachten.

Dann finde ich aber auch noch ein x mit f(x) >0 in ]0,4]. Das liefert mir insgesamt schon mal mindestens 2 Nullstellen. Der Plot zeigt mir auch an, dass die schon in ]0,4] zu finden sind....

Stimmen deine Angaben? verwirrt
Huggybeer Auf diesen Beitrag antworten »

genau das hab ich mich auch schon gefragt...also 1) ist nich lösbar, da stimmt irgendwas mit der aufgabenstellung nicht.

wie siehts aus mit 2) ok soweit oder fehlt was wichtiges?

danke für die schnelle antwort
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst g so bauen, dass es ein anziehender Fixpunkt wird. Deine Variante:



[WS] Fixpunktiterationen
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