Gegenseit. Lage von G. und K.

06.11.2006, 21:45

Renaz

Gegenseit. Lage von G. und K.

Hi leute

hab da einen hänger bei dieser aufgabe

Bestimmen Sie die Berührpunkte und Gleichungen der Tangenten an den Kreis k, die parallel zur Geraden g sind.

K: x^2+y^2=25, g:3x+4y=10.

nun ja, ausser das ich festgestellt habe das die tangenten die gleiche steigung wie die grade haben, bin ich net weiter gekommen.

könnt ihr mir bitte helfen?

danke

mfg Renaz

06.11.2006, 21:54

sqrt4

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.

Zitat:

Original von Renaz

nun ja, ausser das ich festgestellt habe das die tangenten die gleiche steigung wie die grade haben, bin ich net weiter gekommen.

Das is doch schon gegeben also wirklich festgestellt hast du da nix unglücklich

Edit:

Naja lös mal die Gerade nach y auf.
Dann ersetzt du das 10 durch eine Konstante (z.B. a) (Dabei handdelt es sich jetzt um eine Gerade die Parallel ist)

Dann setzt du y in die Gleichung des Kreises ein.
Das gibt eine Quadr. Gleichung, die nur eine Lösung haben darf....

Edit 2:
Bei dem ob´s nur eine Lösung haben darf bin ich mir nicht sicher (sind ja 2 Tangenten)
Edit 3:
Doch stimmt schon!! habs überprüft..

06.11.2006, 21:55

Poff

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.
Wie hättest du's den gerne ?

Ein Blick in deine Formelsammlung sollte dir eine Berührbedingung
verraten, damit lässt sich's in NullkommaNix lösen.
(Äquivalent zur HNF-Variante)

Der andere Weg, die Normale zu g durch M geht durch die Berührpunkte.

06.11.2006, 22:10

Renaz

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kann man nicht nach x auflösen und die dann in die kreisgleichung einsetzen???
vll. weil die tangenten und die grade ja die gleiche steigung haben und nur verschiedene y werte????

also: 3x+4y=10 |-4y
3x=-4y+10 | /3
x= -1,3y + 3,3

x^2+y^2=5^2
(-1,3y + 3,3)^2+y^2=25
1,69y^2 - 4,29y + 3,3^2 =25
1,69y^2 - 4,29y + 10,89 = 25 |-10,89
1,69y^2 - 4,29y =14,11

und weiter keine ahnung

06.11.2006, 22:16

sqrt4

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.

Zitat:

Original von sqrt4

Naja lös mal die Gerade nach y auf.
Dann ersetzt du das 10 durch eine Konstante (z.B. a) (Dabei handdelt es sich jetzt um eine Gerade die Parallel ist)

Dann setzt du y in die Gleichung des Kreises ein.
Das gibt eine Quadr. Gleichung, die nur eine Lösung haben darf....

Edit:
Ich geb dir jetzt einfach mal die ERgebisse an.

$\begin{eqnarray*} a= \pm 5 \end{eqnarray*}$

Edit2:
Du hast in deinem Post oben einfach die Gerade eingesetzt. Du sollst aber eine allgemeine Gerade einsetzen ..(Ausführung dazu siehe oben mit
Variable a)

Was du versuchst ist, den Schnittpunkt der Geraden mit dem Kreis zu finden (sofern die existieren (fraglich)) Dabei handelt es sich aber nicht um deine gesuchten Tangenten!!

06.11.2006, 22:48

Renaz

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also ich kapier nur noch bahnhof.

in meinem mathebuch steht eine beispiel aufgabe aus dem ich net schlau werde,

(Gegenseitige Lage von Grade und Kreis)
" Für welche reellen Zahlen c sind die zueinander parallelen Graden gc: y=-(1/2)x - 1/2 c Sekanten, Tangenten oder Passanten des Kreises x^2 + y^2 = 5?

Lösung:

Auflösen der Gradengleichnung nach x und Einsetzen in die Kreisgleichnung:

(-2y-c)^2 + y^2=5
4y^2+4cy+c^2+y^2=5
5y^2+4cy+c^2 - 5 = 0

lösen:
$\begin{eqnarray*} y=(-4c+\sqrt{100-4c^2})/10 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y=(-4c-\sqrt{100-4c^2})/10 \end{eqnarray*}$

In Abhängigkeit der Diskriminate 100-4c^2 erhält man:
Für |c|<5 ist die zugehörige Grade eine Sekante,
für c=5 oder =-5 jeweils eine Tangente
und für |c|> 5 eine Passante.

hnnnnn???????????

07.11.2006, 17:36

sqrt4

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{100-4c^2} \end{eqnarray*}$

Wenn der Ausdruck unter der Wurzel größer null ist schneidet die Gerade den Kreis richtig (in 2 Punkten = Sekante)
Wenn der Ausdruck unter der Wurzel gleich null ist handelt es sich um eine Tangente.!!!! (Das ist exakt das was ich oben bereits gemacht habe)

Ist der Term unter der Wurzel allerdings negativ, dann gibt es keinen SChnittpunkt mit dem Kreis (=Passante)

Was genau verstehst du nicht?????

07.11.2006, 20:27

Renaz

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.

Zitat:

Original von sqrt4

Edit:
Ich geb dir jetzt einfach mal die ERgebisse an.

$\begin{eqnarray*} a= \pm 5 \end{eqnarray*}$

hi
wie bist du auf $\begin{eqnarray*} a= \pm 5 \end{eqnarray*}$ ?
hab ausgrecht und bei mir kommt $\begin{eqnarray*} a= \pm 4,11 \end{eqnarray*}$ raus.

07.11.2006, 20:45

Poff

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.
So macht man das etwas eleganter:

1) Gerade parallel verschieben durch Kreismittelpunkt
g1: 3*x+4*y=0

2) g1 in HNF
g1HNF: (3*x+4*y=0)*1/sqrt(25)
g1HNF: 3/5*x + 4/5*y = 0

3) g1HNF parallel um +-5 verschieben

t1: 3/5*x + 4/5*y = 5
t2: 3/5*x + 4/5*y = -5

Berührpunkte über Koeffizientenvergleich mit Polarenform(t1',t2')
( Polare zum Pol(x1|y1): x1*x+y1*y =r^2 )

t1'=5*t1: 3*x + 4*y = 25
B1(3|4)
t2'=-5*t2: -3*x - 4*y = 25
B2(-3|-4)

hoffe das stimmt auch.

07.11.2006, 22:57

sqrt4

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RE: Gegenseit. Lage von G. und K.

Zitat:

Original von Renaz

Zitat:

Original von sqrt4

Edit:
Ich geb dir jetzt einfach mal die ERgebisse an.

$\begin{eqnarray*} a= \pm 5 \end{eqnarray*}$

hi
wie bist du auf $\begin{eqnarray*} a= \pm 5 \end{eqnarray*}$ ?
hab ausgrecht und bei mir kommt $\begin{eqnarray*} a= \pm 4,11 \end{eqnarray*}$ raus.

Tja das is falsch.

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{1}{4}(a-3x) \end{eqnarray*}$ Hier habe ich 10 durch a ersetzt. Warum siehe oben

$\begin{eqnarray*} x^2+\frac{1}{16}(a-3x)^2=25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 16x^2+(a-3x)^2=25 \cdot 16 \end{eqnarray*}$
Bisschen rumrechnen und man kommt auf
$\begin{eqnarray*} 25x^2-6ax+(a^2-25\cdot 16)=0 \end{eqnarray*}$
Lösungsformel anwenden!!!!!!!!!!!!

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{50}(6a-\sqrt{36a^2-100(a^2-25 \cdot 16)}) \end{eqnarray*}$

Ich habe bereits erwähnt, dass die Diskriminante null sein muss.
Also $\begin{eqnarray*} -64a^2+40000=0 \end{eqnarray*}$
Tja und so findet man auch einen Fehler (bei mir)

$\begin{eqnarray*} a=\pm 25 \end{eqnarray*}$ wäre richtig gewesen..

07.11.2006, 23:10

sqrt4

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Ich habs jetzt sogar nochmal extra per Hand gezeichnet und

$\begin{eqnarray*} a=\pm 25 \end{eqnarray*}$

Stimmt!!!!
Damit lauten die Gleichungen deiner Tangenten:

$\begin{eqnarray*} t_1 : y= \frac{1}{4}(25-3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_2 : y= \frac{1}{4}(-25-3x) \end{eqnarray*}$

08.11.2006, 01:06

Renaz

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abend,
könntest du mir bitte sagen wo hier der fehler ist?

http://img397.imageshack.us/img397/2097/scannen0006fv7.jpg

08.11.2006, 01:39

derkoch

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$\begin{eqnarray*} (-\frac{3}{4}x+a)^2 \neq [\frac{9}{16}x^2-\frac{6}{8}ax+a^2] \end{eqnarray*}$

08.11.2006, 17:12

Renaz

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Warum ergibt

$\begin{eqnarray*} ( - \frac{3}{4}x + a)^2 \end{eqnarray*}$

aufgelöst nicht

$\begin{eqnarray*} \frac{9}{16} x^{2} - \frac{6}{8}xa+ a^2 \end{eqnarray*}$ ?

08.11.2006, 17:14

derkoch

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naja, vielleicht bin ich schon zu lange aus der schule raus, aber ich hatte das damals gelernt, daß

$\begin{eqnarray*} 2\cdot \frac{3}{4} \neq \frac {6}{8} \end{eqnarray*}$ verwirrt

aber vielleicht hat sich das geändert! verwirrt

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