Schnittpunkte zweier Geraden in der Ebene

05.09.2010, 10:00

maika

Schnittpunkte zweier Geraden in der Ebene

Meine Frage:
Aufgabe ist, zu zeigen, dass g1 und g2 sich in einem Punkt zeigen. (Parameterdarstellung)

1. g1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = (2, 1, 3) + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (-1, -2, 0)
g2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = (2, 1, 3) + u (-3, 1, 4)

2. g1: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = (0, -1, 3) + $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (1, -2, -1)
g2: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ = (2, -5, 1) + u (0, 1, 3)

Meine Ideen:
zu 1: die beiden Stützvektoren sind gleich, doch was man damit machen kann, weiß ich nicht.

zu 2: die beiden Gleichungen würde ich gleichsetzen (nicht gerade meine stärke)

Hier mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 2
-1 - 2 $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = -5 + u
3- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ = 1 + 3u

dadurch weiß man, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2 ist, und man kann 2 in den anderen 2 Gleichungen einsetzen, d.h.

-1 -4 = -5 + u | + 5
3-2 = 1 + 3u | - 1

0= u
0 = 3 u

ich würde mal schätzen, dass ich etwas falsch gemacht habe. wenn nicht, dann weiß ich nicht was ich mit dem letzten anfangen soll.

05.09.2010, 10:15

system-agent

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Zu (1):
Dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ sind irgendwelche reelle Zahlen oder anders gesagt:
Für jede Wahl von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ kriegst du einen Punkt der Geraden $\begin{eqnarray*} g_1 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} g_2 \end{eqnarray*}$ .
Also stimmt das auch für $\begin{eqnarray*} \lambda=u=0 \end{eqnarray*}$ . Also?

Zu (2):
Nein, alles richtig smile

.
Aus der ersten der beiden letzten Gleichungen kriegst du $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ und aus der zweiten der letzten Gleichungen auch.
Nun hast du $\begin{eqnarray*} \lambda=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u=0 \end{eqnarray*}$ gefunden, weil du die beiden Gleichungen gleichgesetzt hast. Was also erfüllen die Punkte
$\begin{eqnarray*} p_1=(0,-1,3)+2\cdot(1,-2,-1)=? \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} p_2=(2,-5,1)+0\cdot(0,1,3)=? \end{eqnarray*}$
?

05.09.2010, 10:47

maika

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zu 1:

also ist der Schnittpunkt ( 2, 1, 3) ?!

zu 2:

also durch einsetzen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ kriege ich beide male (2, -5, 1) raus.
ist das nun der schnittpunkt?

wenn das alles so stimmt: super. danke! Freude

aber: die aufgabe ist noch nicht zu ende. ich muss noch eine paramaterdarstellung der durch g1 und g2 bestimmten ebene angeben.
wie macht man das?

05.09.2010, 11:20

system-agent

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Zitat:

Original von maika
zu 1:

also ist der Schnittpunkt ( 2, 1, 3) ?!

Ja. Sprich du hast hier konkrete Werte von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ gefunden, die auf beiden Geraden denselben Punkt liefern, also ein Schnittpunkt Augenzwinkern

Zitat:

Original von maika
zu 2:

also durch einsetzen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ kriege ich beide male (2, -5, 1) raus.
ist das nun der schnittpunkt?

Ja, gleiche Erklärung wie oben.

Zitat:

Original von maika
aber: die aufgabe ist noch nicht zu ende. ich muss noch eine paramaterdarstellung der durch g1 und g2 bestimmten ebene angeben.
wie macht man das?

Du hast zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden. Von diesem Punkt aus hast du noch zwei Vektoren, also die Richtungsvektoren der Geraden.
Klingt schon ziemlich nach Aufpunkt und zwei Vektoren die eine Ebene festlegen, oder?
Falls es für dich nicht so klingt, Skizzen machen !

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