Kovariante Divergenz

05.09.2010, 10:24	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovariante Divergenz Hallo Leute! Ich bin bei einer Arbeit auf folgendes Problem gestoßen. Es sei $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ eine Hyperfläche in $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit globalem Einheitsnormalenfeld $\begin{eqnarray} \nu \end{eqnarray}$ . Gegeben sei das folgende Vektorfeld: $\begin{eqnarray} X_i(x_1,\ldots,x_{n+1})=x_ie_i \end{eqnarray}$ Es ist die gewöhnliche Divergenz und die kovariante Divergenz bezüglich $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ zu berechnen. Im letzteren Fall sollte $\begin{eqnarray} \operatorname{div} X_i(x_1,\ldots,x_{n+1})=1-\nu_i^2 \end{eqnarray}$ rauskommen, aber ich habe keine Ahnung, wie das zustande kommt. Kann mir jemand helfen? Cordovan
07.09.2010, 15:35	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe hauptsächlich ein Problem damit, dass die kovariante Ableitung Informationen der zweiten Ableitung der Immersion F enthält, die Normale dagegen eine größe der ersten Ableitung ist. Deswegen scheint es mir komisch zu sein, dass genau dieses Ergebnis herauskommt... Cordovan
09.09.2010, 15:27	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schieb noch einmal nach, dann gebe ich mich geschlagen ^^ Also die lokale Formel für die kovariante Divergenz lautet $\begin{eqnarray} \operatorname{div}X:=\sum_{j=1}^n\left(\frac{\partial\xi^j}{\partial u^j}+\sum_{i=1}^n\Gamma_{ij}^j\xi^i\right) \end{eqnarray}$ Das vereinfacht sich im Fall des obigen Vektorfelds zu $\begin{eqnarray} \operatorname{div}X_k=1+\sum_{j=1}^n\Gamma_{kj}^jx_k\stackrel{??}{=}1-(\nu_k)^2 \end{eqnarray}$ Die Gleichheit mit dem Fragezeichen versuche ich zu verstehen. Cordovan
12.09.2010, 21:38	Cordovan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab meine Lösung jetzt, wenn auch auf einem anderen Weg. Da wir eine 2-dimensionale Fläche im R^3 haben, entspricht die kovariante Ableitung genau dem tangentialen Anteil der gewöhnlichen Ableitung. Daher ist $\begin{eqnarray} D_iX_k(x_1,\ldots,x_n):=\nabla_{e_i}X_k(x_1,\ldots,x_n)=(\partial_iX_k)^\top=(\delta_{ik}e_k)^\top=\delta_{ik}(e_k-\langle e_k,\nu\rangle\nu) \end{eqnarray}$ und für die kovariante Divergenz erhalte ich wie gewünscht $\begin{eqnarray} \operatorname{div} X_k(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^n\langle D_iX_k(x_1,\ldots,x_n),e_i\rangle=\sum_{i=1}^n\delta_{ik}\langle e_k-\langle e_k,\nu\rangle\nu,e_i\rangle=\langle e_k-\langle e_k,\nu\rangle\nu,e_k\rangle=1-(\nu_k)^2 \end{eqnarray}$ Cordovan

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