Manipuliertes Roulettspiel; Optimales Spielsystem gesucht

05.09.2010, 12:49

Frank2

Manipuliertes Roulettspiel; Optimales Spielsystem gesucht

Meine Frage:
Aufgrund eines Materialfehlers in einem Roulettspiel sind die Felder für schwarze Zahlen etwas kleiner, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine rote Zahl fällt bei p(Rot)=0,51 liegt (p(nicht-Rot)=0,49). Man darf immer nur auf Rot setzen. Falls Rot kommt, bekommt man das doppelte des Einsatzes zurück. Falls kein Rot kommt, ist der Einsatz verloren.

Gestartet wird mit einem Kapital $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ =1000. $\begin{eqnarray*} a_{n} \in \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ .
Gesucht wird eine Funktion f, welche abhänig vom aktuellen Kapital $\begin{eqnarray*} k_{n} \end{eqnarray*}$ , die Höhe des Einsatzes ermittelt. D.h.
$\begin{eqnarray*} f(x) \in (0;x). \end{eqnarray*}$

Es gilt $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_{n} + f(a_{n})*e_{n} \end{eqnarray*}$
wobei e = 1 mit p=0,51, ansonsten e = -1.

m ist das Mindestkapital, dass nach 1000 Runden mit 80%-iger Wahrscheinlichkeit erreicht wird:
$\begin{eqnarray*} a_{1000} \geq \end{eqnarray*}$ m mit $\begin{eqnarray*} p_{m} \end{eqnarray*}$ = 0.8
$\begin{eqnarray*} a_{1000} \end{eqnarray*}$ < m mit $\begin{eqnarray*} p_{m} \end{eqnarray*}$ = 0.2

Gesucht wird eine Funktion f, bei welcher m maximal wird (oder falls das zu schwierig ist: möglichst groß wird).

Meine Ideen:
Wenn z.B. f(x)=0.01*x, wie berechne ich dann m, bzw. wie berechne ich m allgemein aus f(x)?

06.09.2010, 13:00

Lord Pünktchen

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RE: Manipuliertes Roulettspiel; Optimales Spielsystem gesucht
Nehmen wir einfach mal an f(a_n) = c*a_n mit c aus (0,1)

Dann haben wir a_{n+1} ist zu 51% 2*c*a_n + (1-c)*a_n und zu 49% (1-c)*a_n
das macht erwartungsgemäß bzw. durchschnittlich
0.51*2*c*a_n + a_n

Bei 2-Runden und mehr sollte man entweder mit Stopzeiten und Martingalen arbeiten oder mit einer Markovkette und dessen Grenzverhalten bzw. einem Rechner der die Wahrscheinlichkeiten für den 1000en Zug in abhängigkeit von c berechnet.

06.09.2010, 19:38

Abakus

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RE: Manipuliertes Roulettspiel; Optimales Spielsystem gesucht
Hallo!

Gibt es etwas besseres als f(x) = 0 und m=1.000 ?

Habt ihr schon einige (einfache) Fälle durchgerechnet zB?

Grüße Abakus smile

06.09.2010, 21:13

Frank2

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Ich hab gerade für 10 oder 9 Runden(statt 1000 Runden) rechnen lassen:

Mit f(x)=cx, c aus [0,1] komme ich nur mit f(x)=0 auf m>=1 (bzw. m>=a0). Ansonsten ist die Wahrscheinlichkeit dass m>=1 ist immer < 50%, was mich etwas wundert. Vielleicht kann mir jemand das erklären?!

Mit f(x)=c scheint es "besser zu laufen", dort komme mit 65%-iger Wahrscheinlichkeit auf m>=1. Für 1000 Runden ist es denke ich (?) auch mit >80% möglich.

06.09.2010, 22:13

Abakus

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Zitat:

Original von Frank2
Mit f(x)=c scheint es "besser zu laufen", dort komme mit 65%-iger Wahrscheinlichkeit auf m>=1. Für 1000 Runden ist es denke ich (?) auch mit >80% möglich.

Versuche einmal ein konkretes Beispiel anzugeben.

Etwa f(x) = 1, dann hättest du zumindest sicher in jeder Runde deinen Einsatz. Die resultierende Binomialverteilung kannst du durch eine Normalverteilung annähern, solltest allerdings über den entstehenden Fehler nachdenken.

edit: ein solches Vorgehen wie oben scheint wenig zu bringen; ggf. solltest du einmal so etwas wie Verdopplungsstrategien ausprobieren: gesetzt wird die Differenz zu einer Zahl, die man haben möchte jeweils. Wie hoch kann man diese Zahl max. setzen?

ZB Ziel = 1.100, setze 100 also. Im Gewinnfall: keine weiteren Einsätze, im Verlustfall hast du nur noch 900: also nächster Einsatz = 200 usw.

Grüße Abakus smile

07.09.2010, 15:18

Huggy

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Das scheint recht komplex zu sein. Ich habe es mir mal für kleine n angeschaut. Das Anfangskapital sei zu 1 normiert. Dann kann man mit 3 Runden jedenfalls m = 8/7 und mit 6 Runden m = 16/13 erreichen, jeweils mit über 80 % Wahrscheinlichkeit.

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