Kurve aus den Wendepunkten von Scharkurven bilden

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05.09.2010, 16:44	Peet1	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurve aus den Wendepunkten von Scharkurven bilden Meine Frage: Hallo. $\begin{eqnarray} fa(x)= \frac{8}{729}a^3x^3-\frac{8}{27}a^2x^2+\frac{5}{3} ax+x \end{eqnarray}$ Bestimme diejenige Kurve, die von den Wendepunkten der Scharkurven gebildet wird. Erstelle für a=2;3;5 den Graphen. Meine Ideen: Ich habe die 3 Kurven mit meinem Taschenrechner zeichnen lassen und es ist eher eine lineare Funktion die durch die Wendepunkte geht als eine Kurve. Wie kann ich das rechnerisch lösen? Sollte ich erstmal die Wendepunkte finden? Dankeschön.
05.09.2010, 17:39	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bestimme zunächst mal alle Wendepunkte, also die Wendepunkte in Abhängigkeit von a. Was du dazu tun musst, sollte eig. klar sein.
05.09.2010, 18:16	Peet2	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die Ableitungen richtig? $\begin{eqnarray} fa(x)= \frac{8}{729}a^3x^3-\frac{8}{27}a^2x^2+\frac{5}{3} ax+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa'(x)= \frac{8}{729}a^33x^2-\frac{8}{27}a^22x+\frac{5}{3} a+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa''(x)= \frac{8}{729}a^36x-\frac{8}{27}a^22 = \frac{8}{729}a^36x-\frac{16}{27}a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa'''(x)= \frac{8}{729}a^36 \end{eqnarray}$ Danke
05.09.2010, 18:43	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die sind wichtig, aber das solltest du auch schon wissen. Wenn du nicht mehr weißt, wie man Wendepunkte berechnet, dann such mal bei google danach
05.09.2010, 19:15	Peet3	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich setze die 2.Ableitung = 0 in Abhängigkeit von a. $\begin{eqnarray} \frac{8}{729}a^36x-\frac{16}{27}a^2 = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|+ \frac{16}{27}a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{8}{729}a^36x = \frac{16}{27}a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|729 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8a^36x = 432a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|: 8a^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 6x = 54a^-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|:6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=9a^-1 = \frac{1}{9a} \end{eqnarray}$ Für einen Wendepunkt darf die 3 Ableitung nicht = 0 sein. Und die wird auch nie 0 sein, da in der Aufgabenstellung angegeben wurde, dass a nie gleich 0 ist. Und für den Y-Wert muss ich meinen X-Wert 1 / 9a in die Anfangsfunktion einsetzen. Doch das ist hier aber ein enormer Aufwand oder nicht. $\begin{eqnarray} fa(x)= \frac{8}{729}a^3x^3-\frac{8}{27}a^2x^2+\frac{5}{3} ax+x \end{eqnarray*}$
05.09.2010, 20:01	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig, es müsste $\begin{eqnarray} x= 9a^{-1} = \frac 9 a \end{eqnarray}$ lauten. Ja und das musst du in die Ausgangsfunktion einsetzen, der Aufwand hält sich aber in Grenzen, du wirst sehen warum wenn du es versuchst.
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05.09.2010, 20:21	Peet4	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dass du dich meldest Q-fLaDeN $\begin{eqnarray} x= (9a^{-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa(x)= \frac{8}{729}a^3x^3-\frac{8}{27}a^2x^2+\frac{5}{3} ax+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa(x)= y = \frac{8}{729}a^3(9a^{-1})^3-\frac{8}{27}a^2(9a^{-1})^2+\frac{5}{3} a(9a^{-1})+(9a^{-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} fa(x)= y = \frac{8}{729}a^3(9a^{-3})-\frac{8}{27}a^2(9a^{-2})+\frac{5}{3} a(9a^{-1})+(9a^{-1}) \end{eqnarray}$ Nun Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten miteinander addiert. Und da 3-3,2-2 & 1-1, 0 ergeben und Potenzen ^0, 1 ergeben, müsste es so aussehen: $\begin{eqnarray} fa(x)= y = \frac{8}{729}9-\frac{8}{27}9+\frac{5}{3} 9 + (9a^{-1}) \end{eqnarray}$ Das Ausgerechnet ist: $\begin{eqnarray} fa(x)= y = 12,43 + 9a^{-1} \end{eqnarray*}$ Sieht aber ungewöhnlich aus. Danke nochmal Q-Fladen
05.09.2010, 20:42	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du machst einen entscheidenden Fehler. (Formal musst du auch noch $\begin{eqnarray} f_a (x) \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} f_a (\frac 9 a ) \end{eqnarray}$ umschreiben) $\begin{eqnarray} f_a(\frac 9 a) = \frac{8}{729}a^3(9a^{-1})^3-\frac{8}{27}a^2(9a^{-1})^2+\frac{5}{3} a(9a^{-1})+(9a^{-1}) \end{eqnarray}$ Diese Zeile stimmt noch, aber nun beachte, dass z. B. $\begin{eqnarray} (9a^{-1})^3 = 9^3 \cdot a^{-3} \neq 9 \cdot a^{-3} \end{eqnarray}$ ist!
05.09.2010, 21:00	Peet6	Auf diesen Beitrag antworten »
Also allg. heißt das dann: $\begin{eqnarray} (a^bc^d)^e = a^{be} c^{de} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_a(\frac 9 a) = \frac{8}{729}\frac{729}{1}-\frac{8}{27}\frac{81}{1} +\frac{5}{3}\frac{9}{1} +(9a^{-1}) \end{eqnarray}$ Da kann man kürzen $\begin{eqnarray} f_a (\frac 9 a ) = 8-24+15 + (9a^{-1}) = -1 + (9a^{-1}) \end{eqnarray*}$ So?
05.09.2010, 21:22	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Die y-Koordinaten der Wendepunkte lauten also $\begin{eqnarray} y = \frac 9 a - 1 \end{eqnarray}$ und die x-Koordinaten $\begin{eqnarray} x = \frac 9 a \end{eqnarray}$ Diese Gleichungen führt man für die Ortskurve nun ineinander über, das heißt löse die 2. Gleichung nach a auf, und setze in die 1. Gleichung ein. Die enstandene Funktion ist dann deine Ortskurve.
05.09.2010, 21:33	Peet7	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x = \frac 9 a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a = \frac 9 x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \frac 9 1 \frac x 9 -1 = x-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = x -1 \end{eqnarray*}$ Danke Q-Fladen, du hast mich gerettet. Ein virtuelles Bier geht an dich
05.09.2010, 22:01	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so Und danke für das Bier

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