Beweis einer Ungleichung (Aufgabe aus Königsberger Analysis 1)

05.09.2010, 19:37

mrmuk

Beweis einer Ungleichung (Aufgabe aus Königsberger Analysis 1)

Hallo,

es geht um die erste Aufgabe aus dem 2. Kapitel aus "Königsberger Analysis 1":

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} < \frac{1}{1+nx} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} n \in ~\mathbb N \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$

Nun, wahrscheinlich muss die Aufgabe mit Induktion gelöst werden, dazu habe ich erstmal für n=0 die Ungleichung bestätigt und anschließend dann den Induktionsschluss von n auf n+1 versucht:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}<\frac{1}{1+nx}\cdot(1-x) \end{eqnarray*}$

Dem Term auf der linken Seite muss ich nun ja so umwandeln dass daraus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x}=\frac{1}{1+nx+x} \end{eqnarray*}$

wird.

Aber wie mache ich das? Partialbruchzerlegung geht nicht, evtl. muss ich mit etwas erweitern, aber bis jetzt schlug alles fehl, was ich probiert habe.

Wahrscheinlich die die Antwort total einfach, ich entschuldige mich auch für mein Unfähigkeit, aber es wäre sehr nett, wenn ihr mir dabei helfen könntet! smile

05.09.2010, 20:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Überleg' dir mal, mit was man den Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{1+nx} \end{eqnarray*}$

geschickt erweitern könnte, um unten etwas wie $\begin{eqnarray*} (1+nx)+(x+\ldots) \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

05.09.2010, 20:25

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Unter Benutzung der bernoullischen Ungleichung (kam die schon dran im Buch?) geht das auch ohne Induktion:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^n(1+nx) \leq (1-x)^n(1+x)^n = ... \end{eqnarray*}$

05.09.2010, 20:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis einer Ungleichung (Aufgabe aus Königsberger Analysis 1)

Zitat:

Original von mrmuk
dazu habe ich erstmal für n=0 die Ungleichung bestätigt [...]

05.09.2010, 21:42

mrmuk

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank für die Antworten!

@gonnabphd
Also, dem Hinweis zufolge müsste ich den Bruch mit (1+x) erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{1+nx} \cdot \frac{(1+x)}{(1+x)}=\frac{1-x²}{1+nx+x+nx²} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich ja, dass der untere Term nur aus 1+nx+x besteht und oben halt nur die 1. Also müsste ich theoretisch versuchen, aus dem unteren Term (1-x²) auszuklammern. Ich hab da gedacht, dass ich unten die Ausdrücke ergänze, die mir zu (1+nx+x)(1-x²) fehlen, aber da tauchen stets neue Probleme auf.
Bin ich denn auf diesem Weg überhaupt richtig, oder hätte ich den Bruch doch mit (1 + (1/n)) erweitern sollen?

@Mulder
Ups, mein Fehler. Für n=1 meinte ich.

@tmo
Ja, die bernoullische Ungleichung kam dran, deren Beweis habe ich auch als Vorlage genommen, aber die hatte ja keinen Term unterm Bruchstrich.
Deine Ungleichung verstehe ich nicht wirklich, wie du darauf gekommen bist.
Hast du die beiden Seiten dieser Ungleichung mit den jeweilen Seiten der bernoullischen Ungleichung erweitert/malgenommen?
Sorry, kenne die spezifischen Arbeitsschritte bei einer Ungleichung nicht.

05.09.2010, 21:53

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit (1+x) zu erweitern ist nicht so sinnvoll. Es wäre doch prima, wenn am Ende im Nenner der Faktor (1+(n+1)x) auftauchen würde, oder? Aber der muss ja irgendwo herkommen. Womit könnte man also geschickterweise erweitern?

05.09.2010, 22:04

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich finde das sogar sehr sinnvoll! Also ich hätte auch mit $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ erweitert.

$\begin{eqnarray*} \frac{1-x}{1+nx} \cdot \frac{(1+x)}{(1+x)}=\frac{1-x²}{1+nx+x+nx²} \end{eqnarray*}$

Nun muss man nurnoch beachten, dass $\begin{eqnarray*} 1-x^2 \le 1, \; 1+(n+1)x \le 1+(n+1)x + nx^2 \end{eqnarray*}$ et voilà...

05.09.2010, 22:31

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, na ich wäre anders vorgegangen. Mit (1+(n+1)x) erweitern führt sofort zu einer Ungleichung der Form

$\begin{eqnarray*} (x-1)^{n+1} < \frac{1}{1+(n+1)x} - \underset{> 0}{\text{irgendwas}} < \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$

Nunja, pardon, ich hatte das jetzt nicht so sonderlich durchgrübelt.

05.09.2010, 22:34

mrmuk

Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd

Ich versteh den letzten Beweis-Schritt leider nicht ganz.
Versuchen wir zu zeigen, dass der gerade entstandene Ausdruck kleiner ist als der "eigentlich zu entstehende" Ausdruck?
Also dass $\begin{eqnarray*} \frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ kleiner sein soll als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$ ?
Aber warum wäre damit die Induktion vollständig? Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$ größer ist als $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ , heißt das doch nicht zwangsläufig, dass auch $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}<\frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ gilt, oder?

Gibt es keine "direkte" Möglichkeit, $\begin{eqnarray*} \frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$ umzuformen?
Oder ist das gar nicht nötig, da es sich um eine Ungleichung (und keine Gleichung) handelt?

05.09.2010, 22:38

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm...

Ich glaube, du hast gerade ein bisschen das Ziel aus den Augen verloren:

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n} < \frac{1}{1+nx} \end{eqnarray*}$

Nun haben wir die Abschätzungskette für (n+1) entwickelt bis

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}<\frac{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2} \end{eqnarray*}$

den nächsten (und letzten) Schritt habe ich ja schon angedeutet.

smile

Edit: Es ist nicht nötig (und allgemein auch gar nicht möglich!) $\begin{eqnarray*} \frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$ umzuformen.

05.09.2010, 23:07

mrmuk

Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd

Deine Andeutung habe ich so verstanden:

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+(n+1)x<1+(n+1)x+nx² \end{eqnarray*}$ , daher gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x}>\frac{1}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} 1-x²<1 \end{eqnarray*}$ gilt, gilt erst recht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(n+1)x}>\frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$

Aber warum sollte dadurch $\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}<\frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$ gelten?

Schließlich sieht es zurzeit dann ja so aus:

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}<\frac{1}{1+(n+1)x}>\frac{1-x²}{1+(n+1)x+nx²} \end{eqnarray*}$

Ob der erste Term kleiner ist als der letzte, lässt sich doch so nicht sagen, oder?
Oder habe ich wieder was falsch verstanden? verwirrt

06.09.2010, 00:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich schreib's dir einfach mal hin...

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}< \frac{1-x}{1+nx} = \frac{1-x^2}{1+(n+1)x+nx^2} \le \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$

Das ist doch gerade die gewünschte Ungleichung

$\begin{eqnarray*} (1-x)^{n+1}< \frac{1}{1+(n+1)x} \end{eqnarray*}$

Q.E.D.

06.09.2010, 01:58

mrmuk

Auf diesen Beitrag antworten »

@gonnabphd
Ok, jetzt versteh ichs.
Ich habe bis eben nicht realisiert, dass der erweiterte Term nur eine Abschätzung sein sollte. Habe mir eben eine andere Aufgabe mit einer Ungleichung angeschaut und merke jetzt, dass man bei Ungleichungen wohl sehr oft einen "Zwischenterm" benutzt, um die eigentliche Behauptung zu beweisen.
Mit Ungleichungen rechnet man doch um einiges anders als mit Gleichungen...

Vielen Dank für deine Bemühungen! smile

06.09.2010, 18:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mrmuk
@tmo
Ja, die bernoullische Ungleichung kam dran, deren Beweis habe ich auch als Vorlage genommen, aber die hatte ja keinen Term unterm Bruchstrich.
Deine Ungleichung verstehe ich nicht wirklich, wie du darauf gekommen bist.
Hast du die beiden Seiten dieser Ungleichung mit den jeweilen Seiten der bernoullischen Ungleichung erweitert/malgenommen?
Sorry, kenne die spezifischen Arbeitsschritte bei einer Ungleichung nicht.

Wenn die bernoullische Ungleichung schon dran war, ist es ohne Induktion sehr einfach, wie ich doch auch schon angedeutet hab.

Es ist ja nach Bernoulli: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq (1+nx) \end{eqnarray*}$ .

Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (1-x)^n > 0 \end{eqnarray*}$ liefert:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n(1-x)^n \geq (1+nx)(1-x)^n \end{eqnarray*}$
Jetzt kann man aber die linke Seite etwas umformen und weiter abschätzen. Gegen was müsste man denn die linke Seite noch abschätzen, damit die Ungleichung bewiesen wäre?

Neue Frage »

Antworten »

Beweis einer Ungleichung (Aufgabe aus Königsberger Analysis 1)

Verwandte Themen