Ellipse und Hyperbel in elliptischen Koordinaten

07.09.2010, 15:02	peterdeckenbacher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipse und Hyperbel in elliptischen Koordinaten Meine Frage: Hallo zusammen! Die Aufgabe: Berechnen Sie die Größe der von Ellipse und Hyperbel begrenzten Fläche, indem Sie die elliptischen Koordinaten nutzen! $\begin{eqnarray} F=\left\{ (x,y)\in \mathbb R^{3}: \frac{x^{2}}{1+a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}\leq 1, \frac{x^{2}}{b^{2}}-\frac{y^{2}}{1-b^{2}}\leq 1 \right\} \end{eqnarray}$ Dabei ist: $\begin{eqnarray} a=\sinh(v_{0} )>0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=\sinh(u_{0} )>0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Übergang in Elliptische Koordinaten: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x=sin(u)cosh(v) \\ y=cos(u)sinh(v) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Determinante der Funktionalmatrix (für die Transformation): $\begin{eqnarray} det=cos^{2}(u)cosh^{2}(v)-sin^{2}(u)sinh^{2}(v) \end{eqnarray}$ So, jetzt kann ich die Fläche von Ellipse und Hyperbel ausrechnen (Integrieren) und voneinander abziehen, die Frage ist nur: In welchem Bereich? (Integrationsgrenzen) Schon für F sind mir die Grenzen nicht klar, nach der Koordinatentransformation weiß ich überhaupt nichts mehr... Vielen Dank schon mal für Tipps!
07.09.2010, 16:47	freddie331	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe mir die Ellipse und die Hyperbel mal von Mathematica plotten lassen (siehe Anhang). Selbst da wird nicht klar, welche Fläche eigentlich gesucht ist... (Beispielwerte für a und b!) [attach]15954[/attach]
07.09.2010, 19:48	freddie331	Auf diesen Beitrag antworten »
hat denn keiner eine idee?
08.09.2010, 12:40	freddie331	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft folgende Überlegung: In elliptischen Koordinaten sind die u-Koordinatenlinien Hyperbeln, die v-Koordinatenlinien Ellipsen. Für ein festes u haben wir also Ellipsen, für ein festes v Hyperbeln. Vielleicht kann man damit was anfangen? Gruß freddie331.

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