Lineares Differentialgleichungssystem

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07.09.2010, 20:57	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Differentialgleichungssystem Hallo mal wieder! Jetzt steh ich aber total aufm Schlauch.. Ich hab hier ein Lineares DGLsystem vor mir liegen und bin noch nie mit einem Konfrontiert worden.. Es wäre wohl blöd wenn ich ohne jeglichen Ansatz eine Lösung fordern würde, denn ich will schon raffen wie die Dinger zu lösen sind, deshalb wäre ich froh über einen Link mit einem Beispiel. Ich hab mir schon einige Skripte angeschaut aber kann damit nichts anfangen da die mir immer irgendwie viel zu allgemein und daher zu kompliziert sind.. Ich kann ja die Aufgabe mal reinschreiben, vielleicht kann mir ja jemand eine ähnliche Aufgabe vorrechnen und Erläutern.. Meine Aufgabe will ich dann versuchen selbst zu lösen. Also folgendes Lineares DGLsystem ist gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ x \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So.. Erstmal verwirrt mich diese Schreibweise ein wenig aber ich glaube die ist nötig weil man wohl irgendwas mit den Eigenvektoren der Matrix anstellen muss.. Aber was..? Vielen Dank schonmal für die Hilfe
08.09.2010, 01:15	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Du beginnst erst das homogene System zu Lösen, so dass du das Fundamentalsystem aufstellen kannst. Wenn du das hast kannst du mit einer Variation der Konstanten die inhomogene Lösung errechnen. Lös erst einmal die homogene Gleichung und stell das Fundamentalsystem auf, dann sehen wir weiter. (Zur Kontrolle: Ist eine Drehmatrix die da raus kommt, siehst du dann)
08.09.2010, 09:35	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid aber ich hab grad nichts verstanden... Ich weiß nicht was du mit fundamentalsystem meinst.. Meinst du mit homogener gleichung $\begin{eqnarray} y_2' = y_1 + x \end{eqnarray}$ ?? Eine erläuterung an einem Beispiel würde mir wirklich sehr weiter helfen..
08.09.2010, 09:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Differentialgleichungssystem Was ein Fundamentalsystem ist, findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_(Mathematik) In diesem Fall brauchst du den Lösungsraum für das homogene System $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
08.09.2010, 10:24	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm okay ich hab als lösung $\begin{eqnarray} y_1 = y_2' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_2 = -y_1' \end{eqnarray}$ .. Was nun?
08.09.2010, 10:44	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist keine Lösung, sondern nur die Matrixschreibweise aufgelöst in ein System von DGLs. Was du brauchst, ist eine Lösung der Form $\begin{eqnarray} y(x) = y_0 \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ . Dazu hatte ich dir auch den Wiki-Link gepostet. EDIT: im übrigen kann man sich auch leicht die Lösungen überlegen.
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08.09.2010, 11:11	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ich hab dem wiki-link entnommen, dass man ein Fundamentalsystem von $\begin{eqnarray} y'(x) = a(x)y(x) \end{eqnarray}$ konstruiert, indem man die Stammfunktion von a bildet (im folgenden A) und dann mit $\begin{eqnarray} \left\{ y(x) = e^{A(x)} \right\} \end{eqnarray}$ ein Fundamentalsystem konstruiert hat.. Nur.. Was ist denn mein a?
08.09.2010, 11:15	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein a ist die Matrix. Du kannst es aber auch so lösen, wenn du mal meinen geposteten Ansatz in das homogene System einsetzt.
08.09.2010, 12:02	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Fundamentalsystem besteht aus Lösungen $\begin{eqnarray} \phi_1 , \phi_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} y_1' =-y_2<br /> y_2' = y_1 \end{eqnarray}$ Löse doch erst einmal dieses System. Das kannst du mit scharf hingucken machen (welche Funktionen haben denn eine einfache Beziehung zur negativen Version ihrer Ableitung?) oder du leitest die untere Gleichung ab und setzt sie oben ein für eine entkoppelte DGL (allerdings 2. Ordnung).
08.09.2010, 12:33	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Mann, dass ist irgendwie im Kreis denken. Also ich hab mal die untere gleichung abgeleitet und hab ja dann da stehen $\begin{eqnarray} y_1' = -y_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2'' = y_1' \end{eqnarray}$ dann kann ich gleich setzen und bekomme $\begin{eqnarray} y_2=-y_2'' \end{eqnarray}$ da käme für y_2 zB. sin(x) oder cos(x) in Frage oder? :S
08.09.2010, 12:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig. Zur Übung kannst du aber auch das System $\begin{eqnarray} y' = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot y \end{eqnarray}$ mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} y(x) = y_0 \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ lösen. Dabei sind y(x) und y_0 Vektoren aus dem R², wobei y_0 der Anfangswert ist.
08.09.2010, 13:02	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
okay.. Aber hab ich denn einen Anfangswert gegeben? O.o Und woher kommt das lambda.. Ich hab echt keinen Plan was ich mit dem Ansatz machen soll...
08.09.2010, 13:20	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach mal den Ansatz in das DGL-System einsetzen. Und nein, du hast keinen Anfangswert gegeben, aber das ist auch nicht zwingend erforderlich.
08.09.2010, 13:39	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du in das Homogene DGLsystem? Also so? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} y_0 \cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt kein y_0 hab soll ich dann einfach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ und daher dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -e^{\lambda x} \\ e^{\lambda x} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nehmen.. Kommt mir irgendwie unmathematisch vor.. Sorry ich bin wohl echt ein bisschen schwer von Begriff.. Bei mir leuchtet auf jeden Fall kein Lämpchen auf..
08.09.2010, 13:59	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte gedacht, du würdest das hinbekommen. Nun gut. Wir nehmen erstmal $\begin{eqnarray} y(x) = y_0 \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ und leiten das ab. das ergibt: $\begin{eqnarray} y'(x) = y_0 \cdot \lambda \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ Nun einsetzen in $\begin{eqnarray} y' = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot y \end{eqnarray}$ Das ergibt: $\begin{eqnarray} y_0 \cdot \lambda \cdot e^{\lambda \cdot x} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot y_0 \cdot e^{\lambda \cdot x} \end{eqnarray}$ Offensichtlich muß also für lambda und y_0 gelten: $\begin{eqnarray} \lambda \cdot y_0 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot y_0 \end{eqnarray}$ Kommt dir das irgendwie bekannt vor?
08.09.2010, 14:14	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
...nein. Leider nicht.. Ich fühl mich grad sehr dumm. Warum behälst du eigentlich y_0 in der gleichung? daraus folgt doch das lambda = die matrix ist?? Tut mir leid aber es scheint mir muss man echt alles aus der Nase ziehn..
08.09.2010, 14:41	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}_{=A} \cdot y_0 =\lambda \cdot y_0 \end{eqnarray}$ allgemein geschrieben: $\begin{eqnarray} A\vec{a} = \lambda \vec{a} \end{eqnarray}$ Das ist eine Eigenwertgleichung, darauf möchte klarsoweit hinaus. So kann man das nämlich auch lösen @jokke Weiter im Text... Ja, $\begin{eqnarray} \phi_i = c_{1i} \cdot \sin x+c_{2i} \cdot \cos x \end{eqnarray}$ ist jeweils Lösungen zu den Einzelsystemen. Die Lösung zu deinem Problem ist jetzt diese Lösungen wieder zu einem Vektor zusammengesetzt (durch das zweite Ableiten hast du deine Lösungsräume vergrößert, konntest aber auf die richtige Idee zum lösen kommen: ein Preis den man dann doch gern zahlt) du musst dabei jetzt die Konstanten korrekt wählen, so dass die zusammengesetzte Lösung wirklich deine Gleichung löst. Mit welchen Konstanten du die zusammensetzen musst ergibt sich jetzt aus deiner Gleichung: $\begin{eqnarray} \vec{y}'=A\vec{y} \end{eqnarray}$ (1) Die beiden Lösungen setzen sich wie folgt zusammen (weise selbst nach dass sie das tun!): $\begin{eqnarray} \vec{\phi}_1 =c_1 \left( \cos x \atop \sin x \right) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \vec{\phi}_2 =c_2 \left( -\sin x \atop \cos x\right) \end{eqnarray}$ () Das ist jetzt schon dein Fundamentalsystem. Die Fundamentalmatrix* (brauchen wir gleich!) setzt sich also so zusammen: $\begin{eqnarray} \Phi(x)=\left(\begin{matrix}\cos x & -\sin x\\<br /> \sin x & \cos x\end{matrix}\right) \end{eqnarray}$ Sie löst somit die (Matrix-)Gleichung $\begin{eqnarray} \Phi'(x)=A\cdot \Phi(x) \end{eqnarray}$ () sooo... jetzt zu der inhomogenen Gleichung** $\begin{eqnarray} \vec{y}'=A\vec{y}+b(x) \end{eqnarray}$ (2) Du musst davon jetzt eine Lösung $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ von (2) finden, dann setzt sich die allgemeine Lösung aus der Summe von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ und der homogenen Lösung () zusammen (hattet ihr bestimmt in der Vorlesung ja?) Ich erklär dir den allgemeinen Trick wie man jetzt auf ein $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ kommt, du rechnest es aus ok? Es sei $\begin{eqnarray} \Phi(x) \end{eqnarray}$ die Fundamentalmatrix wie oben zum homogenen System (löst also () ! ) Definiere $\begin{eqnarray} \varphi(x):= \Phi(x)\cdot u(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u(x):=\int_{x_0} ^x \Phi^{-1}(t) b(t) dt + \text{const.} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \Phi^{-1} \end{eqnarray}$ die inverse Matrix ist. Dann löst $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Gleichung (2) denn $\begin{eqnarray} \varphi'(x)=\underbrace{\Phi(x)'}_{=A\Phi(x)} u(x)+ \Phi(x) u'(x) = A \underbrace{ \Phi(x) u(x)}_{=\varphi(x)} + \underbrace{\Phi(x) \Phi^{-1}(x)}_{=1} b(x)= A\varphi(x) + b(x) \end{eqnarray}$ Sooooooooo jetzt du. Rechne erst $\begin{eqnarray} u(x) \end{eqnarray}$ und dann $\begin{eqnarray} \varphi(x) \end{eqnarray}$ aus. Tipp: $\begin{eqnarray} \Phi^{-1}(x)=\left(\begin{matrix}\cos x & \sin x\\<br /> -\sin x & \cos x\end{matrix}\right) \end{eqnarray*}$
08.09.2010, 15:25	jokke	Auf diesen Beitrag antworten »
Wisst ihr was.. Ich danke euch für all eure mühen aber ich glaub das ist einfach mal was was ich nicht raffen werde.. Ich hab morgen die Klausur und werd mich mal anderen aufgaben widmen. Hoffentlich kommts net dran
08.09.2010, 16:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht war das von giles jetzt doch etwas zu kompliziert. Aber dir sollte klar geworden sein, daß man mit meinem Ansatz auf die Eigenwertgleichung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot y_0 =\lambda \cdot y_0 \end{eqnarray}$ kommt. Vielleicht gelingt es dir wenigstens, die Eigenwerte und -vektoren dieser Matrix zu bestimmen.

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