Summenformel: Potenzen

07.11.2006, 15:07

kevin_16

Summenformel: Potenzen

Hallo,
Ich hätte da eine Frage undzwar zu dieser folgenden Aufgabe:
Bewise mit vollstaendger Indktion:

1^4+2^4+...+n^4=(1/30)(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)

Ich bin soweit gekommen:

k*(2k+1)*(3k^2+3k-1)+30*(k^2+2k+1)^2*(k+1)=(1/30)*(2k^2+7k+6)*(3k^2+9k+5)

Gibt es eine einfachere Methode z.B. durch Umformen oder kann ich nur durch Ausmultipliezeren das bewesien?

6k^4+39k^3+91k^2+89k+30=6k^4+39k^3+91k^2+89k+30

Vorerst Vielen Dank!!!

07.11.2006, 15:11

kevin_16

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RE: Summenformel: Potenzen
SO MÜSSTE ES LAUTEN HAB (1/30) AUS VERSEHEN MITKOPIERT

k*(2k+1)*(3k^2+3k-1)+30*(k^2+2k+1)^2*(k+1)=(2k^2+7k+6)*(3k^2+9k+5)

07.11.2006, 15:18

klarsoweit

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RE: Summenformel: Potenzen
Mit latex:
$\begin{eqnarray*} 1^4+2^4+...+n^4=\frac{(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Es wäre schön, wenn du Latex verwenden könntest und die Herkunft der einzelnen Terme und Gleichungen etwas erläutern würdest.

07.11.2006, 15:27

kevin_16

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Mit Latex komm ich irgendwie nicht klar, sry dafür. Also jetzt zu der Eläuterung:
Wenn es für n gilt, dann muss es ja auch für n+1 gelten. Ich habe statt n jetzt k gewählt und eifach eingesetzt

1^4+2^4+...+k^4+(k+1)^4=[(1/30)(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)]+(k+1)^4

(1/30)(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)+(k+1)^4=(1/30)((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)^2+3(k+1)-1)

das wars auch...und nochmal sry dass ich mit latex nicht klar komme

07.11.2006, 15:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von kevin_16
Mit Latex komm ich irgendwie nicht klar, sry dafür.

Dabei ist das so einfach. Klicke bei meinem Beitrag auf Zitat, und du bekommst den Code.

Zitat:

Original von kevin_16
Wenn es für n gilt, dann muss es ja auch für n+1 gelten.

Nicht unbedingt. Diese Folgerung soll ja im Induktionsschritt bewiesen werden.

$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)(2k+1)(3k^2+3k-1)}{30}+(k+1)^4 = \frac{((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)^2+3(k+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

Du mußt nun noch zeigen, daß diese Gleichung stimmt.

07.11.2006, 15:51

kevin_16

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hab ich doch...nach ausmultipliezieren bekomme ich

6k^4+39k^3+91k^2+89k+30=6k^4+39k^3+91k^2+89k+30

aber ich weiß nichtgneua wie das umformen kann damit ich das glecihe wie auf der adneren seite stehen hab

07.11.2006, 15:52

kevin_16

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will die eine seite so umformen dass ich das raus bekomme:

$\begin{eqnarray*} \frac{((k+1)+1)(2(k+1)+1)(3(k+1)^2+3(k+1)-1)}{30} \end{eqnarray*}$

sry fürd ie veilen nacheinandere gestellten beiträge

07.11.2006, 15:55

klarsoweit

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Was willst du noch mehr? Du hast beide Terme umgeformt und bist hüben und drüben auf eine identischen Term gekommen. Und wenn du die Umformung wissen willst, dann betrachte doch deine Umformung:

linke Seite <==> $\begin{eqnarray*} 6k^4+39k^3+91k^2+89k+30 \end{eqnarray*}$ <==> rechte Seite.

07.11.2006, 16:03

kevin_16

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ja..also das ist ja schon was umständlich/ großer aufwand...wollte nur wissen ob es vllt ein trick gibt direkt es zu sehen etc

07.11.2006, 16:08

klarsoweit

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Nee, meistens nicht nicht. Ab 3 Summanden in einem Term wird es auch für mich unübersichtlich. Augenzwinkern