Verständnisprobleme bei Äquivalenzrelation |
| 07.09.2010, 22:14 | thinking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Verständnisprobleme bei Äquivalenzrelation Beispielsweise lautet eine Übung wie folgt:
und weitere beispiele die ich dann mal selber durchgehen möcht laut Lösung ist das Beispiel falsch, also keine Äquivalenzrelation Ganz allgemein: Soweit ich Relationen verstanden hab ist die Schreibweise in 2 Teile aufgeteilt. Links vom Äquivalenzzeichen steht z.b. wie die Variablen der Relation heißen. Rechts welche Eigenschaften die einzelnen Variablen haben müssen um in der Menge dieser Relation zu sein. D.h. die gefragte Relation eine aus geordneten Paaren bestehende Teilmenge der Natürlichen Zahlen müsst ca. so aussehen Jetzt bin ich etwas unschlüssig was die Äquivalenzrelation betrifft:
heißt das es geht hier um irgend eine natürliche Zahl, z.b. 3 welche nicht in der Relation is, weshalbs kein Äquivalenzrelation sein kann? Das würde ja auch bedeuten das eine Äquivalenzrelation nur dann sein kann wenn alle Elemente der ursprünglichen Menge in der Relation sind. versteh ich das richtig so?
X sind in dem Fall die natürlichen Zahlen, wieder is z.b. 3 und 5 nicht in der Relation, also passt auch das nicht. Und hier gilt selbiges wie zuvor, es müssen alle Elemente in der Relation sein, weil man ja scheinbar laut definition irgendein Element aus X zur prüfung nehmen kann.
im grunde selbiges wie zuvor verwirren tut mich z.b. folgender Post http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...php?topic=90079 Angeblich is das eine Äquivalenzrelation, aber wie kann das sein, wenn ich willkürlich für x = 2, y = 5, z=6 wähle dann is die symmetrie und transitivität doch gar nicht gegeben, weil (2,5) und (5,2) sowie (2,5)(5,6)(6,2) in der Relation gar nicht vorkommen *verwirrung* |
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| 07.09.2010, 22:35 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Verständnisprobleme bei Äquivalenzrelation Symmetrie heisst: WENN (x,y) vorkommt (und nur dann), muss auch (y,x) vorkommen. Transitivität heisst: WENN (x,y) und auch (y,z) beide vorkommen, dann und nur dann muss auch (x,z) vorkommen. |
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| 08.09.2010, 09:57 | thinking | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Verständnisprobleme bei Äquivalenzrelation danke wisili, aber irgendwas fehlt mir noch ich nehm mal an deine formulierung lässt sich auf reflexivität anwenden: Eine Relation ist Reflexiv WENN (x,x) vorkommt (und nur dann). und soweit ich versteh bedeuten diese Begriffe das man sich die Paare der Relation mal anschaut und daran erkennt ob die Relation Reflexiv,Symmetrisch,Transitiv ist. D.h. dieses x,y,z e X is nur eine Art Hinweis das die Relation auf der Menge X aufbaut und nur solche Elemente haben darf. Würd also in meinem Beispiel (2,0.5) vorkommen wärs keine Äquivalenzrelation WEIL 0.5 nicht in X vorkommmt. - hat aber noch nix mit reflexiv, sym, ... ztun Damit versteh ich jedenfalls warum die Relation aus dem anderen Matheforum eine Äquivalenzrelation is Aber Beutelspacher's beispiel wär dann doch eine Äquivalenzrelation. Reflexiv weil jede gerade Zahl mit sich selbst in Relation steht z.b. x=2,y=2 Symmetrisch weils für alle geraden x,y Paare x~y <=> y~x gibt Transitiv ebenfalls weil die Paare für alle geraden x,y gebildet werden und da kommt man von (2,4),(4,0) auf (2,0) entweder irgendwas fehlt noch für ein Aha-Erlebnis oder Beutelspacher's beispiel ist falsch hat jemand ne Ahnung wo mein Denkfehler is? |
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| 08.09.2010, 10:08 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Verständnisprobleme bei Äquivalenzrelation
Wenn das bedeutet «sowohl x als auch y sind gerade», dann ist es KEINE Aequivalenzrelation auf der Menge der natürlichen Zahlen. Edit: Ich sehe gerade, dass dein Buch ja ganz dieser Meinung ist: Das kann keine Aequivalenzrelation sein, weil z.B. (1,1) fehlt, die Reflexivität verletzt ist. Deine obige Vermutung «Das würde ja auch bedeuten das eine Äquivalenzrelation nur dann sein kann wenn alle Elemente der ursprünglichen Menge in der Relation sind. versteh ich das richtig so?» musst du nur geringfügig ändern: «Das würde ja auch bedeuten dass es eine Äquivalenzrelation höchstens dann sein kann, wenn alle Paare mit doppelten Elementen, (x,x), der ursprünglichen Menge in der Relation sind. versteh ich das richtig so?» Ja, so ist es. (Symmetrie und Transitivität sind übrigens im Beispiel erfüllt!) |
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