Folgenkovergenz der Ableitung

07.09.2010, 23:33

martha.1981

Folgenkovergenz der Ableitung

Hallo,

ich habe hier folgende Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} U\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} f:U\to\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar und $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \det f'(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie nun, dass eine offene Menge $\begin{eqnarray*} V\subset U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\in V \end{eqnarray*}$ so existiert, dass $\begin{eqnarray*} f\vert_V \end{eqnarray*}$ injektiv ist.

Ich habe eine Musterlösung und versuche diese nachzuvollziehen:

Beweis: O.E. sei $\begin{eqnarray*} K_1(a)\subset U \end{eqnarray*}$ die offene Kugel um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ mit dem Radius $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ .
Angenommen f.a. $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt, die Abbildung $\begin{eqnarray*} f\vert_{B_{1/n}(a)} \end{eqnarray*}$ ist nicht injektiv. Also existieren für alle n Punkte $\begin{eqnarray*} x_n,y_n\in B_{1/n}(a) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n\neq y_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_n)=f(y_n) \end{eqnarray*}$ .

Man erhält aufgrund der Konvergenz $\begin{eqnarray*} f(x_n)'^{-1}\to f(a)'^{-1} \end{eqnarray*}$ die Beschränktheit

$\begin{eqnarray*} \Vert f(x_n)'^{-1}\Vert\leq M \end{eqnarray*}$ mit M > 0 f.a. n.

Da die zweite Ableitung linear und stetig nach Voraussetzung ist, ist sie Beschränkt. d.h. es ex. C>0 mit

$\begin{eqnarray*} \vert f''(x,h,h)\vert\leq C\vert h\vert ^2 \end{eqnarray*}$ für alle x in K(a,1) und h in Rn.

Soviel erstmal dazu. Was hier passiert verstehe ich schon. Aber ich habe einige Löcher bzgl. der Hintergründe:

1) klar ist, dass für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_n\to a \end{eqnarray*}$ und da f stetig folgt natürlich
$\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(a) \end{eqnarray*}$ . Liegt es auch schlicht an der stetigen differenzierbarkeit, dass dann schon $\begin{eqnarray*} f'(x_n)\to f'(a) \end{eqnarray*}$ gilt?

und für die inverse Abbildung. Ist das schon der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit?

2) Statt $\begin{eqnarray*} f(x_n)'^{-1} \end{eqnarray*}$ hätte ich wohl automatisch $\begin{eqnarray*} f'^{-1}(x_n) \end{eqnarray*}$ geschrieben. Sagt die ungewohnte schreibweise was aus? Soll es verdeutlichen, dass hier quasi mit Matrizen gearbeitet wird?

3) Ich habe gelernt: $\begin{eqnarray*} f:X\to Y; X,Y\text{ normierte Räume} \end{eqnarray*}$ heißt beschränkt, wenn es ein C>0 gibt, so dass gilt

$\begin{eqnarray*} \Vert f(x)\Vert_Y\leq C\Vert x\Vert_X \end{eqnarray*}$ f.a. x in X.

Was ist hier der Grund dafür, dass $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_X =\Vert \cdot \Vert_Y = \Vert \cdot \Vert_2 = \vert \cdot \vert \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm angenommen werden kann?

Weil alle Normen äquivalent sind, heißt es ja nicht, dass alle Normen gleiche Ergebnisse bringen, oder? Also ich meine $\begin{eqnarray*} \Vert f(x) \Vert_Y \end{eqnarray*}$ ist allg. im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} \vert f(x) \vert \end{eqnarray*}$ , oder?

Grüßle,

Martha

08.09.2010, 04:42

gonnabphd

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Zitat:

1) klar ist, dass für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} x_n\to a \end{eqnarray*}$ und da f stetig folgt natürlich
$\begin{eqnarray*} f(x_n)\to f(a) \end{eqnarray*}$ . Liegt es auch schlicht an der stetigen differenzierbarkeit, dass dann schon $\begin{eqnarray*} f'(x_n)\to f'(a) \end{eqnarray*}$ gilt?

Ja.

Zitat:

und für die inverse Abbildung. Ist das schon der Satz von der lokalen Umkehrbarkeit?

Man benutz einfach die Cramer'sche Regel und bildet damit an jedem Punkt das Inverse der Matrix.

Zitat:

2) Statt $\begin{eqnarray*} f(x_n)'^{-1} \end{eqnarray*}$ hätte ich wohl automatisch $\begin{eqnarray*} f'^{-1}(x_n) \end{eqnarray*}$ geschrieben. Sagt die ungewohnte schreibweise was aus? Soll es verdeutlichen, dass hier quasi mit Matrizen gearbeitet wird?

Ich tippe mal auf zweiteres.

Zitat:

Was ist hier der Grund dafür, dass $\begin{eqnarray*} \Vert \cdot \Vert_X =\Vert \cdot \Vert_Y = \Vert \cdot \Vert_2 = \vert \cdot \vert \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm angenommen werden kann?

Das geht,

Zitat:

Weil alle Normen äquivalent sind

Zitat:

Also ich meine $\begin{eqnarray*} \Vert f(x) \Vert_Y \end{eqnarray*}$ ist allg. im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nicht gleich $\begin{eqnarray*} \vert f(x) \vert \end{eqnarray*}$ , oder?

Das behauptet auch keiner.

Wink

09.09.2010, 13:54

martha.1981

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okidoki,

danke erstmal.

Nur nochmal kurz Haare spalten:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} \Vert\cdot\Vert_{(1)}, \Vert\cdot\Vert_{(2)} \end{eqnarray*}$ Normen. Sie sind äquivalent, gdw. es ex. $\begin{eqnarray*} C_1,C_2 >0\, \forall x\in\mathbb{R}^n : C_1\Vert\cdot\Vert_{(1)}\leq \Vert\cdot\Vert_{(2)}\leq C_2\Vert\cdot\Vert_{(1)} \end{eqnarray*}$

So ist die Äquivalenz von Normen ja definiert.

Dann ist endlichen Räumen z.B. $\begin{eqnarray*} \vert\cdot\vert \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm äquivalent zu einer beliebigen Norm $\begin{eqnarray*} \Vert\cdot\Vert_? \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt einfach nur zur Schreibweise $\begin{eqnarray*} \vert\cdot\vert =\Vert\cdot\Vert_? \end{eqnarray*}$ . Da benutze ich dann einfach das Gleichheitszeichen?

Das war 1.

2. Was mich noch plagt, ist die Invertierbarkeit der Ableitung in $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ . Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} \det f'(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Aber an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ist ja nix über die Invertierbarkeit ausgesagt, oder?

Kann man wirklich sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} U\in\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ offen, $\begin{eqnarray*} f:U\to\mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar und $\begin{eqnarray*} a\in U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \det f'(a)\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Für eine Folge $\begin{eqnarray*} x_n\to a \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f'(x_n)^{-1}\to f'(a)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Grüße,

Martha

09.09.2010, 16:53

gonnabphd

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Hallo,

Zitat:

Dann ist endlichen Räumen z.B. $\begin{eqnarray*} \vert\cdot\vert \end{eqnarray*}$ die euklidische Norm äquivalent zu einer beliebigen Norm $\begin{eqnarray*} \Vert\cdot\Vert_? \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt einfach nur zur Schreibweise $\begin{eqnarray*} \vert\cdot\vert =\Vert\cdot\Vert_? \end{eqnarray*}$ . Da benutze ich dann einfach das Gleichheitszeichen?

Nein, denn gleich sind die Normen ja nicht. Aber was im Beweis vorkommt, ist ja nur:

Zitat:

Da die zweite Ableitung linear und stetig nach Voraussetzung ist, ist sie Beschränkt. d.h. es ex. C>0 mit

$\begin{eqnarray*} \vert f''(x,h,h)\vert\leq C\vert h\vert ^2 \end{eqnarray*}$ für alle x in K(a,1) und h in Rn.

Und aus der Äquivalenz der Normen schliesst man leicht, dass es - sofern es für irgendeine Norm eine Konstante C gibt - für jede beliebige Norm so ein C' geben muss.
Ich verstehe nicht ganz, wo das Problem liegt? Möglicherweise rede ich also daran vorbei...

Nach Vorraussetzung ist $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ stetig. Andererseits ist auch $\begin{eqnarray*} \det \end{eqnarray*}$ stetig. Also gibt es eine Umgebung von a, so dass $\begin{eqnarray*} \det f'(x) \ne 0 \end{eqnarray*}$ in dieser Umgebung. Deshalb kann man für fast alle $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ die Inverse bilden. Und gemäss der Cramerschen Regel ist die Abbildung

$\begin{eqnarray*} i: GL(n,\mathbb R) \to GL(n, \mathbb R), \; A \mapsto A^{-1} \end{eqnarray*}$

stetig. (Sogar $\begin{eqnarray*} C^\infty \end{eqnarray*}$ )

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