Verknüpfungstafel jedes Element in jeder Zeile und Spalte einmal

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Sonnni Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungstafel jedes Element in jeder Zeile und Spalte einmal
Meine Frage:
Hallo,
meine Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass in jeder Zeile und Spalte einer Verknüpfungstafel jedes Element der Gruppe genau einmal vorkommt.

Meine Ideen:
Den Beweis muss man ja sehr allgemein angehen, da es um beliebige Verknüpfungstafeln geht.
Allerdings Verknüpfungstafeln einer Gruppe, d.h. meine Verknüpfung ist assoziativ, es gibt in neutrales Element und ein inverses Element. Die Gruppe ist zudem abgeschlossen.

Ich habe als Beispiel einmal die Gruppe der ganzen Zahlen modulu 4 angesehen.
In dieser Gruppe gibt es also die Elemente 0,1,2,3 wobei 0 das neutrale Element ist.
Mit dem inversen Element habe ich noch Probleme. Irgendwie konnte ich das nicht identifizieren.
Die Verknüpfung ist +
Also mache ich eine Tafel

+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2

Hier kommt jedes Element in jeder Zeile und Spalte einmal vor. Ich habe jetzt aber ja nur ein Beispiel angesehen... vielleicht hilft das etwas auf dem Weg zum Beweis.
Ich weiß nämlich nicht genau, wie ich das allgmein beweisen könnte...

Ich würde mich über eure Tipps sehr freuen.
lg
Sonni
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Abbildungsvorschrift wird durch die Zeile (Spalte), in der Links "b" steht, definiert?

Anders gefragt: Wenn ich dir ein beliebiges Element "a" aus der Gruppe G gebe und dich frage, was bei der Schnittstelle zwischen der b-Zeile und der a-Spalte rauskommt, wie berechnet sich das?
Sonnni Auf diesen Beitrag antworten »

Das berechnet sich so:



Dabei steht das mal jetzt mal allgemein für die Verknüpfung. Da könnte auch + stehen, wenn es eine additive Gruppe ist.

Das gibt mir für jedes Element a an, was es multipliziert mit b ergibt. Also gibt mir das für alle a die Eintragungen in der Zeile b.
Diese müssen bei mir ja alle verschieden sein. Das müsste ich irgendwie mit dieser Funktion zeigen.
Ist es sinnvoll zu zeigen, dass f bijektiv ist? Damit würde ich alle Elemente erreichen und jedes genau einmal.

Ich weiß aber nicht, wie ich hier konkret rangehen könnte... das müsste irgendwie über die Gruppe gehen. Das ist ja die einzige Info, die meine Verknüpfungstafel von jeder beliebigen Verknüpfungstafel abgrenzt.
Was meinst du?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sonnni
Ist es sinnvoll zu zeigen, dass f bijektiv ist?


Freude

Zitat:
Ich weiß aber nicht, wie ich hier konkret rangehen könnte... das müsste irgendwie über die Gruppe gehen. Das ist ja die einzige Info, die meine Verknüpfungstafel von jeder beliebigen Verknüpfungstafel abgrenzt.
Was meinst du?


Es gibt eine bestimmte Eigenschaft einer Gruppe, die dir hilft eine Umkehrabbildung anzugeben.

PS: Es sollte vllt. irgendwo dabei stehen, dass die Gruppe endlich ist. Andererseits wer notiert schon Verknüpfungstafeln unendlicher Gruppen? Teufel
Sonnni Auf diesen Beitrag antworten »

Also es steht nirgends dabei, dass die Gruppe endlich ist, aber vielleicht war das einfach unbewusst mit vorausgesetzt...

Um also die Bijektivität von f zu zeigen, muss ich zeigen, dass die Abbildung injektiv und surjektiv ist.
Für injektiv muss gelten .
hmm... die Funktion heißt ja

Kann ich in der Mitte jetzt einfach das b rauskürzen? Dann würde folgen a=a' und damit wäre die Injektivität erfüllt.

Für surjektiv muss gelten, dass alle Punkte im Bildbereich erreicht werden.
Also Im(a)=Y, wobei Y die gesamte Menge an Punkten ist, die als Bild zur Verfügung steht.
Man könnte es auch anders ausdrücken: Für jedes y aus dem Bildbereich muss es ein a aus der Menge aus der abgebildet wird, geben, sodass gilt f(a)=y.
Das müsste ja eigentlich erfüllt sein, da b*a eine Gerade mit der Steigung b darstellt.
Was mich hieran noch stört ist, dass wir ja eigentlich nicht die rationalen Zahlen betrachten, da diese ja überabzählbar unendlich sind, sondern eine endliche Menge. Sieht das dann so in etwa aus wie eine Folge deren "Punkte" auf einer Geraden liegen?

Falls die Argumentation so stimmt, ist f bijektiv. Damit existiert eine Umkehrabbildung, die ebenfalls bijektiv ist.

Zitat:
Es gibt eine bestimmte Eigenschaft einer Gruppe, die dir hilft eine Umkehrabbildung anzugeben.


Also ich weiß jetzt zumindest, dass es eine Umkehrabbildung gibt. Wie ich die aber konkret angeben könnte weiß ich noch nicht.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Argumentation ist bisher zumindest schwammig und lückenhaft (eher falsch).

Zitat:
hmm... die Funktion heißt ja

Kann ich in der Mitte jetzt einfach das b rauskürzen? Dann würde folgen a=a' und damit wäre die Injektivität erfüllt.


Ja, du kannst das b rauskürzen. Es sollte dir aber auch erst einmal klar sein, weshalb! Einfach wegnehmen geht nicht, aber man könnte ja auf beiden Seiten was dazumultiplizieren...

Und das war genau die Idee von jester. denn dieses von-links-dazumultiplizieren ist genau die gesuchte Umkehrfunktion.

Wink

ps.: Das Argument mit der Geraden war hoffentlich nur für die Anschauung gedacht und kein Versuch eines Beweises?!

pps.: Ausserdem sind die rationalen Zahlen abzählbar.
 
 
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