Nullstellen einer R2->R Funktion

08.09.2010, 13:38	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen einer R2->R Funktion Hallo, ich habe hier folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(x,y)=3x^4+3y^4-4x^2-4y^2+6x^2y^2+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x,y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ wie kann ich denn da die Nullstellen herausbekommen? Grüße, martha ps: laute ihres graphen hat sie 4 an der zahl.
08.09.2010, 14:04	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, ich habs durch probieren raus. Einmal habe ich mir den Graphen anzeigen lassen und festgestellt, dass soetwas wie achsensymmetrie herrscht. und dann habe ich eich die y-Koordinate auf 0 gesetzt, also mit $\begin{eqnarray} f'=3x^4-4x^2+1 \end{eqnarray}$ weitergerechnet. Substituiert und die Nullstellen 1/3 und 1 herausbekommen für $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ . Demnach müsste eine Nullstelle $\begin{eqnarray} (x,y)^T\in\{ (0,1),(0,-1),(0,\frac{1}{3}),(0,-\frac{1}{3}),(\frac{1}{3},0),(-\frac{1}{3},0),(-1,0),(1,0)\} \end{eqnarray}$ sein. Richtig? Jetzt habe ich noch Frage: 1) Gibt es ein Schema F um die Nullstellen zu bekommen? 2) Wie heißt nennt man diese "Achsensymmetrie" bei mehrdimensionalen Abbildungen? 3) Wie kann man diese Symmetrieeigenschaft geschickt bei eine beliebigen Abbildung untersuchen, eben ohne sich den Graphen anzeigen zu lassen? Liebes Grüßchen, Martha
08.09.2010, 14:18	DanielWolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Martha, ist das wirklich Schulmathematik? Ich habe den Graphen mal in einem 3D Plotter eingegeben und es scheint mir, dass die Nullstellen unendlich viele sind und einen Kreis ergeben (in der x,y-Ebene, also auf dem "Boden") mich wundert auch, dass du f' (also Ableitung) schreibst, wo Du eigentlich nur y=0 gesetzt hast. Die Ableitung benutzt man aber doch nur, um Extrema und wendestellen auszurechnen, oder?
08.09.2010, 14:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Geheimnis heißt Faktorisieren: Es ist $\begin{eqnarray} f(x)=(x^2+y^2)(3x^2+3y^2-4)+1=3(x^2+y^2)\left(x^2+y^2-\frac{4}{3}\right)+1 \end{eqnarray}$ Die Substitution $\begin{eqnarray} x^2+y^2=u \end{eqnarray}$ führt zu einer quadratischen Gleichung. Zu deinen Fragen: Die angesprochene Symmetrie lässt darauf hoffen, dass durch Ausklammern von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y^2 \end{eqnarray}$ gleiche Klammern entstehen, sodass man weiter ausklammern kann.
08.09.2010, 14:36	martha.1981	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist jedenfalls keine hochschulmathe. Aber ich glaube du hast auch recht, jedes (x,y)-Paar mit das einen abstand von 1/3 oder 1 zum null punkt der Ebene hat, ist eine Nullstelle. Oder? @tmo, ahaa, so macht man das. kann ich damit auch die Symmetrie nachweise. achwas, ich probier's. danke!

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