Affine Abbildungen |
| 08.09.2010, 14:19 | peekass | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Affine Abbildungen Hallo alle zusammen 
Wir nehmen in der 13 gerade die Affinen Abbildungen durch, und habe dann auch gleich mal eine Frage zu einer uns gestellten Aufgabe. Aufgabe lautet: Eine Abb. a bildet P(2|4) auf P'(5|6), Q(6|10) auf Q'(2|1), R(1|5) auf R'(4|5) und S(9|7) auf S'(3|4) ab. Begründe, dass es sich nicht um eine affine Abb. handeln kann. Meine Ideen: Ich habe da jetzt einfach 3 Punkte (P,Q,R) und ihre 3 Abbildungspunkte (P',Q',R') genutzt, um eine mögliche Matrix und die Abbildungsgleichung zu berechnen. Danach habe ich das selbe mit den 3 Punkten (P,Q,S) und ihren 3 Abbildungspunkten (P',Q',S') gemacht. Jetzt habe ich 2 verschiedene Abbildungsgleichungen, weiß jedoch nicht, ob das als Begründung reicht. Außerdem wollte ich noch fragen, wie man denn die Parallelentreue mithilfe der Umkehrbarkeit beweisen kann. Habe mich dann schlau gemacht und folgendes gefunden: "Aus der Umkehrbarkeit einer geradentreuen Abbildung folgt ihre Parallelentreue. Hätten nähmlich die Bilder zweier (verschiedener) paralleler Geraden einen Schnittpunkt, dann hätte dieser Schnittpunkt zwei Urbilder." Kann man mir vllt. erklären, wie man sich das bildlich vorstellen kann mit dem oben genannten Beispiel? Danke im vorraus
|
||
| 08.09.2010, 23:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu 1) Im Prinzip richtig. Es genügen (in R2) bereits zwei Punkte mit deren Bildpunkten, um die (2 mal 2) - Abbildungsmatrix festzulegen. Man kann dies also z.B. mit den Punkten P, Q und deren Bildern durchführen. Mit der eben erhaltenen Matrix (*) berechnet man die Bilder von R und S und vergleicht mit den angegebenen Punkten R' und S'. Dabei wird man eine Verschiedenheit feststellen. (*) Zu 2) Eine geradentreue Abbildung ist natürlich auch punkttreu, d.h. das Bild eines Punktes ist selbstverständlich auch wieder ein Punkt. Sie ist auch umkehrbar, d.h. führt man auf das Bild einer Geraden, welches wieder eine Gerade ist, die Umkehrabbildung aus, so erhält man wieder das Urbild, also die Ausgangsgerade als Bild der Umkehrabbildung. Diese Abbildung ist auch inzidenztreu. Damit ist gesagt, dass das Bild eines Punktes, welcher auf einer Geraden liegt, auch auf dem Bild dieser Geraden zu liegen kommt. Angenommen, diese Abbildung wäre nun nicht paralleltreu, dann hätten zwei parallele Geraden als Bild zwei Geraden, welche sich in einem Punkt schneiden. Dieser Schnittpunkt liegt also auf beiden Geraden. Nun kehren wir das Ganze um und erhalten als Urbilder wiederum die zwei parallelen Geraden und - wegen der Inzidenztreue - sitzt auf jeder der beiden Geraden das Urbild des Schnittpunktes. Da die beiden Geraden in der Ausgangslage aber parallel sind, muss es zwei Urbilder des Schnittpunktes geben. Das ist nun ein Widerspruch zur obigen Annahme, also ist die Abbildung paralleltreu. mY+ |
||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
Unwissenschaftlich!