Berechnung geom. Vielfachheit für Minimalpolynom

08.09.2010, 15:51

pablosen

Berechnung geom. Vielfachheit für Minimalpolynom

Hallo liebes Forum

$\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 1& 0 & 0&0&1 \\ 1& 0 & 0&0&1 \\ 1& -1 & 1&0&1 \\ 2& -1 & 0&0&2 \\ 0& -1 & 1&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe hier diese Matrix mit Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ . Nun ergibt mir

$\begin{eqnarray*} A-\lambda_2 * E_5 = \begin{pmatrix} 0& 0 & 0&0&1 \\ 1& -1 & 0&0&1 \\ 1& -1 & 0&0&1 \\ 2& -1 & 0&-1&2 \\ 0& -1 & 1&0&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun in folgende Gleichung einsetze:

$\begin{eqnarray*} (A-\lambda_2)*\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Kriege ich folgende Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} x_5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=x_3 \end{eqnarray*}$

Und beim besten Willen kriege ich nur den einzigen Eigenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \lambda_2=1 \end{eqnarray*}$ heraus.

Die geometrische Vielfachheit von $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ ist aber $\begin{eqnarray*} =2 \end{eqnarray*}$ ???

Wie kriege ich den 2. Eigenvektor zu diesem Eigenwert heraus? Ich bekomme den einfach nicht... (?).

Grüsse

08.09.2010, 16:34

Johnsen

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Berechne doch mal den Rang deiner Matrix $\begin{eqnarray*} A-\lambda_2 * E_5 \end{eqnarray*}$

Und dann wendest du die Dimensionsformel an, um die Dimension des Kerns herauszufinden.

Gruß

Johnsen

08.09.2010, 19:08

pablosen

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Zitat:

Original von Johnsen
Berechne doch mal den Rang deiner Matrix $\begin{eqnarray*} A-\lambda_2 * E_5 \end{eqnarray*}$

Und dann wendest du die Dimensionsformel an, um die Dimension des Kerns herauszufinden.

Gruß

Johnsen

Danke, stimmt.

Rang einer Matrix = Die Dimension des Unterraumes, der nicht auf die Null abgebildet wird.

*edit*

08.09.2010, 19:10

Johnsen

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so ist es, deine Lösung stimmt schon, denn es gibt nur einen Eigenvektor.

08.09.2010, 19:17

pablosen

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Zitat:

Original von Johnsen
so ist es, deine Lösung stimmt schon, denn es gibt nur einen Eigenvektor.

Es ging bei der Aufgabe darum, das Minimalpolynom zu berechnen. Man hat uns gelehrt, dass die Potenz des jeweiligen Linearfaktors zu einem Eigenwert = die geometrische Vielfachheit zu diesem Eigenwert ist.

Die Matrix hat 2 Eigenwerte: 0 und 1.

Die geometrische Vielfachheit zu 0 ist 2, also $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ im Minimalpolynom (klar).

Die geometrische Vielfachheit zu 1 ist 1, das wäre $\begin{eqnarray*} (x-1) \end{eqnarray*}$ im Minimalpolynom.

Das Minimalpolynom wäre also $\begin{eqnarray*} x^2*(x-1)= x^3-x^2 \end{eqnarray*}$ . Das ergibt aber nicht die Nullmatrix.

Jedoch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2*(x-1)^2= x^4-2x^3+x^2 \end{eqnarray*}$ ergibt die Nullmatrix.

Wie ist das zu erklären?

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