Beweis zu Z modulu n ist Körper genau dann wenn n Primzahl ist

08.09.2010, 16:04

Liza

Beweis zu Z modulu n ist Körper genau dann wenn n Primzahl ist

Meine Frage:
Hallo,
ich habe in meinem Skript einen Beweis zu
$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist.

Bei dem Beweis habe ich aber einige Schritte, die ich nicht verstehe.
Hier erstmal der Beweis:

Wenn n nicht prim ist, dann hat es einen echten Teiler m mit km=n. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ geht diese Gleichung dann in km=0 über, was bedeutet, dass es Nullteiler gibt. Diese können aber damit nicht invertierbar sein und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist kein Körper.
Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl p ein Körper ist, müssen wir zeigen, dass jedes Nichtnullelement a ein Inverses besitzt. Das zeigen wir, indem wir zeigen, dass die Linksmultiplikation $\begin{eqnarray*} \lambda_a(x)= ax \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ surjektiv ist (Damit gibt es dann ein b mit ab=1) Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ endlich ist, ist dies äquivalent zur Injektivität der Abbildung. Sei also ax=ay. Dann ist a(x-y)=0 in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , oder anders gesagt, p teilt a(x-y). Da a nicht durch p teilbar ist, folgt, dass p den anderen Faktor x-y teilt und damit x=y in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Meine Ideen:
Ich kann einige Schritte in dem Beweis nachvollziehen, aber nicht alle.

Zitat:

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ für eine Primzahl p ein Körper ist, müssen wir zeigen, dass jedes Nichtnullelement a ein Inverses besitzt.

Das ist so, da in einem Körper jedes Element außer dem Nullelement ein Inverses besitzt.

Zitat:

Das zeigen wir, indem wir zeigen, dass die Linksmultiplikation $\begin{eqnarray*} \lambda_a(x)= ax \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ surjektiv ist (Damit gibt es dann ein b mit ab=1)

Warum zeigen wir das so? Wenn die Linksmultiplikatin surjektiv ist, heißt das soch nur, dass alle Elemente im Bild erreicht werden. Wie kann ich dann darauf schließen, dass jedes Element ein Inverses besitzt?
Also die Folgerung in der Klammer verstehe ich nicht.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ endlich ist, ist dies äquivalent zur Injektivität der Abbildung.

Das kann ich nachvollziehen. Es werden alle ELemente getroffen. Es muss also jedes Element genau einmal getroffen werden, da wenn eines zweimal getroffen werden würde, ein anderes gar nicht mehr getroffen würde (mit der Abbildung). Ist jetzt vielleicht mathematisch ein wenig ungenau formuliert, aber so kann ich es mir am besten vorstellen.

Zitat:

Sei also ax=ay.

Warum setze ich jetzt so an?

Zitat:

Da a nicht durch p teilbar ist,

Warum ist a nicht durch p teilbar? Hatten wir das irgendwo vorausgesetzt?

Wir haben also gezeigt, dass gilt
$\begin{eqnarray*} ax=ay \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Also dass wir links kürzen können. Warum haben wir damit gezeigt, dass die Linksmultiplikation surjektiv ist?

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.

08.09.2010, 16:09

wisili

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RE: Beweis zu Z modulu n ist Körper genau dann wenn n Primzahl ist
Mit $\begin{eqnarray*} ax=ay \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ ist die Injektivität gezeigt, und deshalb auch die Surjektivität.

08.09.2010, 16:23

tmo

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RE: Beweis zu Z modulu n ist Körper genau dann wenn n Primzahl ist

Zitat:

Original von Liza

Zitat:

Diese Abbildung ist für jedes a surjektiv. Insbesondere gibt es also zu jedem a ein x mit $\begin{eqnarray*} \lambda_a(x)=1 \end{eqnarray*}$

08.09.2010, 18:13

Liza

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Danke erstmal für eure Antworten.

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} ax=ay \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ ist die Injektivität gezeigt, und deshalb auch die Surjektivität.

Stimmt.. die Definition der Injektivität ist ja $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ Und da hier die Abbildung x auf ax abbildet ist $\begin{eqnarray*} ax=ay \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ zu zeigen, um die Injektivität zu beweisen.

Diese ist äquivalent zur Surjektivität, da wir uns in einem endlichen Körper befinden. Ist für diese Äquivalenz nicht auch wichtig, dass wir in dem Körper aus dem abgebildet wird und dem Körper in den abgebildet wird gleich viele Elemente haben? Das ist in dem Beweis nicht erwähnt. Es ist zwar gegeben, da wir von dem gleichen Körper in den gleichen Körper abbilden, aber wenn wir von einem Körper mit 4 Elementen in einen Körper mit 5 Elementen abbilden würden, die ja beide endlich sind, würde aus der Surjektivität sicher nicht die Injektivität folgen, weshalb sie dann nicht äquivalent wären.
Habe ich da Recht?

Zitat:

Diese Abbildung ist für jedes a surjektiv. Insbesondere gibt es also zu jedem a ein x mit $\begin{eqnarray*} \lambda_a(x)=1 \end{eqnarray*}$

Diese Argumentation kann ich aber nur machen, weil in meinem Körper das Einselement liegt, oder?
In $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/n \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ liegen ja die Elemente 0,1,2,...,n-1 und damit auch die 1.
Hätte ich einen Körper in dem z.B. die Elemente 0,2,3,4,...,n liegen würden, könnte ich dieses Argument nicht bringen, richtig? In diesem Fall kann ich sie aber nachvollziehen.

Jetzt bleiben mir noch zwei Fragen:

Warum gilt, dass a nicht durch p teilbar ist?
Und wo fließt ein, dass p eine Primzahl ist? Irgendwie finde ich das noch nicht so konkret in dem Beweis.

08.09.2010, 18:27

tmo

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Zitat:

Original von Liza
Ist für diese Äquivalenz nicht auch wichtig, dass wir in dem Körper aus dem abgebildet wird und dem Körper in den abgebildet wird gleich viele Elemente haben?

Ja, das ist entscheidend.

Zitat:

Original von Liza
Diese Argumentation kann ich aber nur machen, weil in meinem Körper das Einselement liegt, oder?

Wenn kein Einselement vorhanden wäre, wäre es sowieso von vorneherein kein Körper und jede weitere Untersuchung würde unnötig.

Zitat:

Original von Liza
Warum gilt, dass a nicht durch p teilbar ist?

Wegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_p^* \end{eqnarray*}$ . a lässt nämlich bei der Division durch p definitionsgemäß den Rest a. Und a war ja nicht 0.

Zitat:

Original von Liza
Und wo fließt ein, dass p eine Primzahl ist? Irgendwie finde ich das noch nicht so konkret in dem Beweis.

Ich sag mal nur das hier:

4 ist nicht durch 6 teilbar. 9 ist nicht durch 6 teilbar. Aber 4*9=36 ist durch 6 teilbar.

Nun schau nochmal in den Beweis.

08.09.2010, 20:17

Liza

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Zitat:

Wegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Z_p^* \end{eqnarray*}$ . a lässt nämlich bei der Division durch p definitionsgemäß den Rest a. Und a war ja nicht 0.

Man müsste dann noch dazuschreiben, dass a ungleich 0 ist, oder? Ich habe das zumindest im Beweis nicht gefunden. Allerdings wäre es wenig sinnvoll a=0 zu erlauben, da ja dann nicht so schließen könnten.
$\begin{eqnarray*} ax=ay \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$ . Hier wären dann beide Seiten einfach =0.

Zitat:

Ich sag mal nur das hier:

4 ist nicht durch 6 teilbar. 9 ist nicht durch 6 teilbar. Aber 4*9=36 ist durch 6 teilbar.

Nun schau nochmal in den Beweis.

Ich glaube dass das da drinsteckt:

Zitat:

oder anders gesagt, p teilt a(x-y). Da a nicht durch p teilbar ist, folgt, dass p den anderen Faktor x-y teilt und damit x=y in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , was zu zeigen war.

Erst mal zu deinem Bsp.
Wir wissen 6 teilt 36=3*3*2*2 (Primfaktorzerlegung) (hier steckt die 6 ja schon drin in 3*2)
Es gilt also
6 teilt 3 * 12 und da 6 nicht 3 teilt, muss 6 12 teilen.
Wenn wir also nur einen Faktor rausziehn und der nicht durch 6 teilbar ist, das Produkt aber schon, so muss der andere Faktor durch 6 teilbar sein.

Das klappt aber nur, wenn wir eine Primzahl rausziehen, wenn z.B. die 4 rausziehen, die ja keine Primzahl ist, haben wir 36=4*9 und weder 4 noch 9 ist durch 6 teilbar.

jetzt also zu p teilt a(x-y). Das ist ein Produkt. Weil a ungleich 0 ist, lässt es bei der Division durch p einen Rest, somit ist a nicht durch p teilbar. Also muss (x-y) durch p teilbar sein.
Aber weiß ich sicher, dass a nicht ein Produkt aus mehreren Primfaktoren sein könnte? Sonst müsste p doch nicht unbedingt (x-y) teilen, wie man in deinem Bsp sieht.

aah, jetzt hab ichs. Dein Bsp geht nur "schief", weil 6 keine Primzahl ist, sondern aus den Primzahlen 2 und 3 besteht. Deshalb kann ich bei einem Produkt einfach die beiden Primzahlen 2 und 3 auf die beiden Faktoren aufteilen, sodass ich weder 4 noch 9 durch 6 teilen kann, weil in keinem 2 und 3 drinstecken. Das geht nicht, wenn ich eine Primzahl betrachte. Sie kann ich ja nicht weiter zerlegen.
Deshalb kann ich sicher gehen, dass in a kein "Teil" von p drinsteckt, wenn a nicht durch p teilbar ist. Es gibt nämlich keinen "Teil" von p, da p eine Primzahl ist. Deshalb muss der andere Faktor (x-y) durch p teilbar sein.

Und genau hier kommt ins Spiel, dass p eine Primzahl ist, richtig? An keiner anderen Stelle verwendet man das sonst.

08.09.2010, 20:22

tmo

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Zitat:

Original von Liza
Man müsste dann noch dazuschreiben, dass a ungleich 0 ist, oder?

Das steht doch da. "Jedes Nichtnullelement".

Die letzte Begründung von dir ist richtig Freude

Genau da geht die Primzahleigenschaft von p ein.

08.09.2010, 20:35

Liza

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Zitat:

Das steht doch da. "Jedes Nichtnullelement".

oh, stimmt... das habe ich wohl überlesen.

Dann habe ich alles verstanden.

Vielen vielen Dank für die Hilfe smile

12.11.2010, 12:28

nele01

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hi,

versuch auch gerade den beiweis nach zuvollziehn und eure erklärungen sind eine spitze helfestellung.

allerdings verstehe ich nicht, wie man aus a(x-y)=0 auf p teilt a(x-y) kommt.

schon mal vielen dank für eure hilfe

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