Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung

08.09.2010, 16:12

Bobsn

Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo an alle!!!

Kann mir jemand bitte erklären warum das so ist????

Eine Maschine erzeugt Nägel mit einer durchschnittlichen Länge von $\begin{eqnarray*} \mu=50mm \end{eqnarray*}$ .
Die Länge der Nägel ist normalverteilt, die Standardabweichung beträgt $\begin{eqnarray*} \sigma=2,5mm \end{eqnarray*}$ .

a)Wieviel Prozent aller Nägel sind kürzer als 48mm?

b)Wieviel Prozent alle Nägel sind länger als 51mm?

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z=\frac{48-50}{2,5}=-0,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X<48)=\Phi(-0,8)=0,2119=21,19% \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} z=\frac{51-50}{2,5}=0,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X>51)=1-\Phi(0,4)=0,3446=34,46% \end{eqnarray*}$

Warum ist es bei b) $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(0,4) \end{eqnarray*}$ ???
Sollte es nicht bei a) $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(0,8) \end{eqnarray*}$ sein??? Da $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist??

Die Ergebnisse sind richtig!!! Aber warum????

08.09.2010, 17:19

BarneyG.

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung

Zitat:

Original von Bobsn
Warum ist es bei b) $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(0,4) \end{eqnarray*}$ ???
Sollte es nicht bei a) $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(0,8) \end{eqnarray*}$ sein??? Da $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ ist??

Na, so isses doch auch!

ad b)

$\begin{eqnarray*} P(X>51)=1 - P(X<=51)=1-\Phi(0,4)=1-0,66542=0,34458=34,46% \end{eqnarray*}$

ad a)

$\begin{eqnarray*} P(X<48)=\Phi(-0,8)= 1-\Phi(0,8)=1 - 0,78814 = 0,21186=21,19% \end{eqnarray*}$

Wo ist denn das Problem?

Grüße

08.09.2010, 17:29

Bobsn

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung
Hallo!!!

Danke für die Antwort!!

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ verstehe ich jetzt!

Aber warum muss man bei $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 1-\Phi(0,4) \end{eqnarray*}$ rechnen???
Das versthe ich nicht!! verwirrt

08.09.2010, 17:32

Bobsn

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung
Wieso muss man mit 1 subtrahieren??

08.09.2010, 18:10

Huggy

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung
Das steht doch schon bei BarneyG. Aber noch mal ganz ausführlich:

Für eine Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist deren Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ definiert als

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x)=F_X(x) \end{eqnarray*}$

Wenn du also einen Aufgabentyp hast, bei dem nach $\begin{eqnarray*} P(X \leq x) \end{eqnarray*}$ gefragt ist, kannst du die Antort direkt aus der Verteilungsfunktion ablesen, sofern dir diese bekannt ist. Wenn aber nach $\begin{eqnarray*} P(X>x) \end{eqnarray*}$ gefragt ist, geht das nicht. Nun ist aber

$\begin{eqnarray*} P(X \leq x)+P(X>x)=1 \end{eqnarray*}$

denn irgendeinen Wert muss die Zufallsgröße ja haben. Die Gesamtwahrscheinlichkeit über den gesamten Wertebereich ist immer 1. Und das ergibt umgeformt

$\begin{eqnarray*} P(X)>x)=1-P(X \leq x) =1-F_X(x) \end{eqnarray*}$

Das gilt für jede Verteilung, also auch für die Normalverteilung.

08.09.2010, 18:32

Bobsn

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RE: Wahrscheinlichkeitsrechnung, Normalverteilung
AHHH!!!! Jetzt verstehe ichs!!! Danke euch beiden!!!! Freude

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