Suche den Namen der Formel bzw. einen Ansatz

08.09.2010, 19:58

kepheus1

Suche den Namen der Formel bzw. einen Ansatz

Hallo!
Ich habe zwei Fragen und bitte um eure Hilfe.

1)
Ich versuche mich gerade an einer Aufgabe, finde aber keinen Ansatz, wie ich die Aufgabe lösen könnte. Ist das eine grundsätzliche Formel bzw. irgendein Gesetz? Mit einem Namen oder einem Ansatz wäre mir schon gut geholfen.
Vielen Dank!

Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}}(\sum^{n}_{k=0} {n \choose k} 9^k = 10^n) \end{eqnarray*}$

2)
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} (10^n \ge 1 + n9) \end{eqnarray*}$

Ich habe hier erkannt, dass es sich um die Bernoullische Ungleichung handeln könnte. Kann ich hier x = 9 definieren und dann per Induktion "ganz normal" die Ungleichung beweisen? Mit x wäre das dann:

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} ((x + 1)^n \ge + nx) \end{eqnarray*}$

Danke euch,
Kai

08.09.2010, 20:11

wisili

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RE: Suche den Namen der Formel bzw. einen Ansatz
Zu 1)
Binomischer Lehrsatz: (1+9)^n = 10^n

08.09.2010, 20:13

corvus

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RE: Suche den Namen der Formel bzw. einen Ansatz

Zitat:

Original von kepheus1

1)

Die Aufgabe lautet: Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}}(\sum^{n}_{k=0} {n \choose k} 9^k = 10^n) \end{eqnarray*}$

2)
Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}} (10^n \ge 1 + n9) \end{eqnarray*}$

1 ) a=1 , b=9 smile

binomischer Lehrsatz (a+b)^n = .. ? ..

2) l 1+n9 <- verwirrt

08.09.2010, 20:15

wisili

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RE: Suche den Namen der Formel bzw. einen Ansatz
Zu 2)
Nimm bei 1) nur k=0 und k=1 und lass die übrigen Summanden weg.

08.09.2010, 20:22

kepheus1

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Hm, ok. Danke bis hierhin.

Bei 2) meinte ich:
$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}}((x+1)^n \ge 1 + nx) \end{eqnarray*}$

Die 1 hat gefehlt.

08.09.2010, 20:39

corvus

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Zitat:

Original von kepheus1

Bei 2) meinte ich:
$\begin{eqnarray*} \bigwedge_{n \in \mathbb{N}}((x+1)^n \ge 1 + nx) \end{eqnarray*}$

na ja, das gilt ja nicht für alle x Wink

aber bei deiner Aufgabe war ja wohl x=9 gemeint?

(1+9)^n = 1+9n + ....
und klar, was sein wird, wenn du all die folgenden Summanden weglässt?

.

09.09.2010, 18:08

kepheus1

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Hallo!
Tut mir leid, ich verstehe nicht, was du meinst. Ich wollte eigentlich nur wissen, ob ich sagen kann x=9 und dann die Bernoullische Ungleichung "normal" per Induktion lösen kann. Mit der 9 bzw. 10 kann ich nichts anfangen. Deswegen der Umweg mit der Ersetzung.

Gruß

09.09.2010, 19:22

corvus

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Zitat:

Original von kepheus1

Tut mir leid, ich verstehe nicht, was du meinst.

schade.
noch ein Versuch:

Bei 1) hast du gezeigt, dass
10^n = (1+9)^n = 1 + 9*n + ....... + 9^n
(Binomische Formel)

wenn du nun die rot markierten Summanden (die ja alle positiv sind) weglässt, dann gilt doch
für alle n >1 :

10^n > 1 + 9*n

(Gleichheitszeichen für n=1)
fertig....................... smile

da brauchst du doch den guten Bernoulli nicht mehr ausgraben..
oder?

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