typ der rechten seite- resonanz

09.09.2010, 00:35

ricemastayen

typ der rechten seite- resonanz

Hallo, ich habe folgende aufgabe:Geben sie den erstansatz für folgende DGL an:

y" + y = 2sinx + 5x cos3x

so, die lösung dazu lautet:
erstansatz für 2sinx: asinx + bcosx, resonanz

erstansatz für 5xcos3x unglücklich

cx+d)cos3x + (ex + f) sin3x, keine resonanz

ich verstehe alles, bis auf den schritt mit der resonanz, warum ist bei einem resonanz, und beim anderen nicht??

hoffe mir kann jemand von den mathegenies hier hlefen,
#
danke.

09.09.2010, 00:36

ricemastayen

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sorry, da wo ein unglücklich

ist, muss natürlich ein : ( gin...

09.09.2010, 01:07

Rmn

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Wie wärs mit Formele-Editor, denn sonst versteht man in er Tat nur Smilies? smile

Link rechts unter "Werkzeuge".

09.09.2010, 01:59

ricemastayen

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danke dir vielmals, aber in diesem fall ist wohl kein formeleditor notwendig....

09.09.2010, 02:58

ricemastayen

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leute, kommando zurück, habs doch nun verstanden, bis auf eins:

ich habe das beispiel y"-y´ = xe^x........................so die ns des chara. polynoms sind 0 und 1.....damit ist resonanz vorhanden, weil ja quasi e^1x auf der rechten seite steht....

wie ist das aber bei der geposteten aufgabe??wenn ich kein e habe, sondern sin und cos?? Wenn die ns des ch. polynoms +/- i sind, warum ist dann bei 2sinx eine resonanz?? danke

09.09.2010, 03:00

giles

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Soweit ich das mitgekriegt habe wird es manchmal (besonders bei Physikern oder Ingenieuren) als Resonanz bezeichnet, wenn die e-Fkt-Inhomogenität im Argument eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Gleichung hat . Konkret und explizit:

$\begin{eqnarray*} y''+y=\left(\frac{d^2}{dx^2}+1\right) y \end{eqnarray*}$

Das Polynom was sich durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} y= e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$ ergibt ist folglich

$\begin{eqnarray*} P(\lambda)=\lambda^2 +1 \end{eqnarray*}$ , Nullstellen: $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$

Die Inhomogenität des Sinus hat jetzt Resonanz, denn

$\begin{eqnarray*} \sin x = \frac{1}{2i}\left( e^{ix}-e^{-ix}\right) \end{eqnarray*}$

in den Argumenten tauchen also beide Nullstellen auf.
Die Inhomogenität vom Kosinus hat entsprechend keine Resonanz, da

$\begin{eqnarray*} 5x\cos(3x) = 5x \frac{1}{2}(e^{3ix}+e^{-3ix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \pm 3i \end{eqnarray*}$ nicht Nullstelle von $\begin{eqnarray*} P(\lambda) \end{eqnarray*}$ ist

09.09.2010, 15:04

ricemastayen

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hallo giles, wie bist du auf die umformung von cos und sin gekommen<ßßß??

Ich hab noch was: bei y"+ y`-2y = e^x*cosx liegt KEINE resonanz vor....

die ns des chara. polynoms sind 1 und -2.....wie ist das zu erklären?

09.09.2010, 15:17

giles

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Zitat:

Original von ricemastayen
hallo giles, wie bist du auf die umformung von cos und sin gekommen<ßßß??

cos und sin sind so definiert Augenzwinkern

. Cos ist Realteil und Sinus ist Imaginärteil von $\begin{eqnarray*} e^{ix}=\Re(e^{ix})+i \Im (e^{ix})=\cos x+i \sin x \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \cos x = \Re ( e^{ix} )=\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})<br /> \sin x = \Im (e^{ix} ) = \frac{1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix}) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich hab noch was: bei y"+ y`-2y = e^x*cosx liegt KEINE resonanz vor....

die ns des chara. polynoms sind 1 und -2.....wie ist das zu erklären?

$\begin{eqnarray*} e^x \cos x = e^x\cdot \frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})=\frac{1}{2}(e^{(i+1)x}+e^{(-i+1)x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\pm i \end{eqnarray*}$ sind jetzt nicht die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

09.09.2010, 15:44

ricemastayen

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suuuper, danke, habs nun kapiert,!!!!

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