Spezielle Zahlentripel: Quadratzahl-Summanden

09.09.2010, 12:07	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Spezielle Zahlentripel: Quadratzahl-Summanden Hallo Sorry, ich weiss nicht genau, wie ich das Problem mit wenigen Worten im Betreff hätte umschreiben sollen. Es geht um eine Aufgabe aus meinem Kurs zur elementaren Zahlentheorie: Ich muss Zahlentripel (r,s,t) untersuchen, die so beschaffen sind, dass die Zahlen sich paarweise zu Quadratzahlen summieren. Also zum Beispiel (2,23,98) mit 2+23=25, 2+98=100 und 23+98=121. Genauer muss ich beweisen, dass solche Tripel immer mindestens zwei gerade Zahlen enthalten müssen. [Bei unserem Kurs geht es immer nur um natürliche Zahlen und die Null zählen wir (falls nicht anders erwähnt) nicht dazu. Ausserdem sei vorausgesetzt, dass r, s, t verschieden sind.] Ich habe zuerst versucht, das irgendwie über Summen oder so zu beweisen, drehe mich damit aber im Kreis. Dann habe ich versucht, mir die Eigenschaft zu nutze zu machen, dass gerade Quadratzahlen durch 4 teilbar sind; ohne Erfolg -- war auch mehr so eine Verzweiflungstat. Ein weiterer Versuch war, über die Parität (gerade/ungerade) von r,s,t und den Quadratzahlen etwas zu erhalten. Hat ebenfalls nicht geklappt. Gestern Abend habe ich mich dann noch überlegt und bewiesen, dass die Quadratzahlen 1, 4, 9 und 16 nicht als Summen in Betracht kommen können. Aber das hat mich leider auch nicht weiter gebracht. Kurzum: Ich wäre dankbar für einen Schubser in die richtige Richtung, denn mir gehen langsam die Lösungsansätze aus. Alles, worauf ich von selbst komme, habe ich ausprobiert. Danke!
09.09.2010, 12:42	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Spezielle Zahlentripel: Quadratzahl-Summanden s. tmo
09.09.2010, 12:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast gute Ansätze dabei. Zum Ziel führt, dass eine gerade Quadratzahl durch 4 teilbar ist. Etwa so: Angenommen r und s seien ungerade. Wegen $\begin{eqnarray} r+s \equiv 0 \pmod 2 \end{eqnarray}$ und der Tatsache, dass r+s sogar Quadratzahl ist, folgt $\begin{eqnarray} r+s \equiv 0 \pmod 4 \end{eqnarray}$ . Also o.B.d.A: $\begin{eqnarray} r \equiv 1 \pmod 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s \equiv 3 \pmod 4 \end{eqnarray}$ . Was folgt daraus nun für $\begin{eqnarray} (r+t)-(s+t) \pmod 4 \end{eqnarray}$ ? Und wo liegt der Widerspruch?
09.09.2010, 14:13	Egon	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh...wow... Es ist immer frustrierend, wenn man so nahe an der Lösung war und es trotzdem nicht hinbekommen hat. Seien also r+s=x^2 s+t=y^2 r+t=z^2 Dann ist (r+t)-(s+t) =r-s = z^2-y^2 = (z-y)(z+y) [mit genau dieser Rechnung habe ich lange versucht, auf etwas Brauchbares zu kommen... :-( ] Dabei haben z^2 und y^2 sicher die gleiche Parität; beide ungerade, falls c gerade bzw. beide gerade, falls c ungerade. Damit ist z^2-y^2 gerade. Also muss mindestens einer der Faktoren (z-y)(z+y) gerade sein und da (z-y) und (z+y) die gleiche Parität sind es natürlich beide. Damit ist z^2-y^2 also durch 4 teilbar. Aber r-s lässt bei Division durch 4 den Rest 2. Vielen, vielen Dank für den Tipp!
09.09.2010, 14:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau

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