0,227272... in gemeinen Bruch umwandeln

09.09.2010, 16:11

Dummkopf77

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0,227272... in gemeinen Bruch umwandeln

Meine Frage:
Wie kann man eine endliche oder periodische Zahl in einen "gemeinen" (allgemeinen...was auch immer das heisst) Bruch umwandeln bzw eine rationale Zahl die als Dezimalzahl ausgeschrieben wurde als Bruch darstellen. Zum Bleistift:
0,227272.....

Meine Ideen:
Intervalle bilden:
1/4 = 0,25; 1/5=0,2
--> 10/50 < 0,227272... < 10 /40
Die Mitte zwischen 1/5 und 1/4 wären 10/45: per Nebenrechnung: 10/45 = 0,222... schon ziemlich nah dran
--> 10/45 < 0,227272... < 10/40
also mal mit 10/44 versuchen
usw. bis man auf 10/44 = 5/22 = 0,227272.... kommt

aber das ist ja nicht sonderlich "elegant"

09.09.2010, 16:16

Reneee

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Wenn der Bruch nicht zuuu lange ist kann man das Ganze so machen:

Beispielzahl sei : 0.74939345

Wenn du das als Bruch darstellen willst, könntest du schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{74939345}{100000000} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist einfach nur wichtig, dass die Zahl im Nenner eine Ziffer ( also eine 0 ) länger ist, als die Zahl im Zähler.

Nun kann man vielleicht noch schauen, wie viel man noch kürzen kann.

Außerdem besitzten Taschenrechner in der Regel eine Taste, welche dir Brüche in Dezimalzahlen und Dezimalzahlen in Brüche umwandelt.

09.09.2010, 16:18

wisili

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RE: 0,227272... in gemeinen Bruch umwandeln
$\begin{eqnarray*} 0.22 \overline{72} = \frac{22. \overline{72}}{100} = \frac{22 + \frac{72}{99}}{100} \end{eqnarray*}$

(vorausgesetzt, 72 ist Periode.)

09.09.2010, 16:25

Q-fLaDeN

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Wenn es um periodische Zahlen geht, dann hier ein Beispiel:

Man suche sich eine periodische Zahl, z. B. $\begin{eqnarray*} 0.\overline{27} \end{eqnarray*}$ und kann diese dann in einen Bruch umschreiben, indem man die periode selbst, hier also 27, in den Zähler schreibt, und eine Anzahl von 9en in den Nenner schreibt, die der Anzahl der periodischen Zahl entspricht. 27 hat 2 Stellen, also zwei 9en in den Nenner.

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11} \end{eqnarray*}$

oder auch

$\begin{eqnarray*} 0.\overline{8421} = \frac{8421}{9999} = \frac{2807}{3333} \end{eqnarray*}$

Fängt die Periode nicht gleich hinter dem Komma an, so kann man das ja zurecht biegen:

$\begin{eqnarray*} 0.02\overline{58} =\frac{2.\overline{58}}{100} = \frac{2+\frac{58}{99}}{100} \end{eqnarray*}$

\Edit: ...

10.09.2010, 09:14

dummkopf77

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hallo
soweit klar, danke
aber wieso ergibt 99 im Nenner einen periodischen bruch?

10.09.2010, 10:09

Kühlkiste

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Zitat:

Original von dummkopf77
hallo
soweit klar, danke
aber wieso ergibt 99 im Nenner einen periodischen bruch?

Deutlich wird das, wenn Du Dir die geometrischen Reihen über inverse Zehnerpotenzen anguckst.

Zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{4711}=4711\cdot \frac 1{10000}+4711\cdot \frac 1{(10000)^2}+4711\cdot \frac 1{(10000)^3}+\ldots=<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> 4711\cdot\sum_{n=1}^\infty\left(\frac 1{10000}\right)^n=4711\left(\frac 1{1-\frac 1{10000}}-1\right)=\frac{4711}{9999} \end{eqnarray*}$

edit: Zeilenumbruch für bessere Lesbarkeit eingefügt.
LG sulo

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10.09.2010, 10:18

gast123123

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Aha! Danke!

10.09.2010, 15:06

gast123123

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Kannst du mir bitte den vorletzten Term der Gleichung nochmal erklären? Wie wird aus dem Sigmaterm der Faktor (1/(1-(1/10000))-1) ?
mfg

10.09.2010, 15:33

Q-fLaDeN

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Siehe geometrische Reihen:

$\begin{eqnarray*} a_0\sum_{k=0}^{\infty} q^k = a_0 \cdot \frac{1}{1-q}\qquad \text{für }|q| < 1 \end{eqnarray*}$

10.09.2010, 15:36

Kühlkiste

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Zitat:

Original von gast123123
Kannst du mir bitte den vorletzten Term der Gleichung nochmal erklären? Wie wird aus dem Sigmaterm der Faktor (1/(1-(1/10000))-1) ?
mfg

Zunächst mal hatte ich einen kleinen Tippfehler drin. Die 4700 hat da nichts verloren. Es muss stattdessen natürlich 4711 lauten.

Also die geometrische Reihe hab ich mal als bekannt vorausgesetzt:

$\begin{eqnarray*} \text{Sei }q\in\mathbb R,~|q|<1,~\text{dann gilt: }\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac 1{1-q}. \end{eqnarray*}$

Wir haben hier ja:

$\begin{eqnarray*} \ldots=4711\cdot\sum_{n=1}^\infty\left(\frac 1{10000}\right)^n=4711\left(\frac 1{1-\frac 1{10000}}-1\right)=\frac{4711}{9999}. \end{eqnarray*}$

Hier ist also $\begin{eqnarray*} q=\frac 1{10000} \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty q^n=\sum_{n=0}^\infty q^n-1=\frac 1{1-q}-1=\frac q{1-q}=\frac 1{9999} \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 12:41

Action-84

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RE: 0,227272... in gemeinen Bruch umwandeln
Hallöle,

0,227272 =22,72= 22 72/99 = 22 8/10 = 228/100 = 57/25

hier die erklärung !!!

http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsyst...llenwertsysteme

11.09.2010, 13:05

wisili

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RE: 0,227272... in gemeinen Bruch umwandeln

Zitat:

Original von Action-84
0,227272 =22,72= 22 72/99 = 22 8/10 = 228/100 = 57/25

= 2.28, alles andere als 0.227272. Action-84 macht 2 Fehler.

11.09.2010, 14:00

PhyMaLehrer

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Ich bin ein bißchen erstaunt über die hochwissenschaftlichen Berechnungen.
Hier mal der Weg, wie ich es gerechnet hätte:

x = 0,22727...

10x = 2,2727...
1000x = 227,2727...

Differenz bilden; die periodischen Dezimalstellen sind gleich und "verschwinden"

990x = 225
x = 225 / 990 = 45 / 198 = 15 / 66 = 5 / 22

11.09.2010, 14:28

wisili

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Das sorglose Kommaverschieben bei nichtabbrechenden Dezimalbrüchen wird durch die wissenschaftlichen Argumente (der geometrischen Reihen) erst legitimiert.

11.09.2010, 14:36

sulo

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Das Umwandeln von periodischen Dezimalbrüche in Brüche wird in der Regel nur in der 6. Klasse besprochen.

Somit ist die Erklärung von PhyMaLehrer diejenige, die von Schülern dieser Klassenstufe am ehesten nachvollzogen werden kann.

In der Schule wird gerne auch der Weg von Q-FladeN angewendet, wobei zunächst das Geheimnis von 1/9 erklärt und besprochen wird.

Die anspruchsvolleren Erklärungen legen die Grundlage dar, wie wisili anmerkt, einem Unterstufenschüler sind sie jedoch kaum zu vermitteln.

smile

smile

11.09.2010, 18:56

Kühlkiste

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Ich bin ein bißchen erstaunt über die hochwissenschaftlichen Berechnungen.
Hier mal der Weg, wie ich es gerechnet hätte...

Und ich bin ein bißchen erstaunt über die Schlampigkeit beim Lesen der Beiträge.

Hier nochmal die Frage, die der Ausgangspunkt war:

Zitat:

Original von dummkopf77
aber wieso ergibt 99 im Nenner einen periodischen bruch?

Ganz abgesehen davon, dass in diesem Thread nichts wissenschaftliches und erst recht nichts "hochwissenschaftliches" (was auch immer Du darunter verstehen magst...) gepostet wurde, gibt Deine kleine Rechnung darauf sicher keine Antwort - oder?

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