Dimension / Basis bestimmen

09.09.2010, 16:45

Georg123

Dimension / Basis bestimmen

Meine Frage:
Bestimmen Sie die Dimension des von a, b und c erzeugten Vektorraumes U und geben Sie eine Basis für U an.

a = (8,-2,-3) b = (4,2,1) c = (2,4,3)

Meine Ideen:
Lgs aufstellen und lösen:

8r + 4s + 2t = 0
-2r + 2s + 4t = 0
-3r + s + 3t = 0

8r + 4s + 2t = 0
-4r + 4s + 8t = 0
-12r + 4s + 12t = 0

12r - 6t = 0 | * 10
20 r - 10t = 0 | * 6

120r - 60t = 0
120r - 60t = 0

--> linear abhängig (t = 2r, r = 0,5t , s = -3r)

Wie komm ich nun auf die Dimension und Basis???

09.09.2010, 17:36

Mulder

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RE: Dimension / Basis bestimmen
Nun, da diese drei Vektoren ja offenbar linear abhängig sind, kannst du einen von ihnen wegwerfen, denn eine Basis wäre ja ein minimales Erzeugendensystem. Man sieht ja schnell:

$\begin{eqnarray*} a = 3b-2c \end{eqnarray*}$

Das kannst du ja auch analog nach b oder c umstellen. Und wenn du jeden dieser drei Vektoren auch als vielfaches der anderen beiden darstellen kannst, brauchst du ja logischerweise nicht alle drei, um U aufzuspannen.

Kommst du nun weiter?

09.09.2010, 17:57

Rose123678

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Dementsprechend ist die Dimension = 2 (also R²) oder???
Aber bezüglich der Basis komm ich immernoch nicht weiter...:S
Erneute Hilfe wäre nett! Lg

09.09.2010, 18:03

Mulder

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Zitat:

Original von Rose123678
Dementsprechend ist die Dimension = 2 (also R²) oder???

Dass die Dimension 2 ist, muss ja kurz gezeigt werden. Ist eigentlich banal, aber sollte erwähnt werden. Warum ist die Dimension 2?

Und mit dem R² hat das Ganze nun wirklich gar nichts zu tun. Wir haben hier doch Vektoren mit drei Komponenten vorliegen. Im R² wären es doch Vektoren mit zwei Komponenten. Der R² hat zwar ebenfalls die Dimension 2, ist aber ganz was anderes als U. Schlag die Definition der Dimension nach, wenn dir nicht so genau klar ist, was das eigentlich aussagt.

Zitat:

Original von Rose123678Aber bezüglich der Basis komm ich immernoch nicht weiter...

Weißt du denn, was eine Basis überhaupt ist? Eigentlich müsstest du jetzt eine Basis sofort angeben können.

09.09.2010, 18:09

Rose123678

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Also ich dachte eine Basis wird immer von zwei linear unabhängigen Vektoren gebildet... Aber hier liegen linear abhängige Vektoren vor, also bin ich verwirrt :S

09.09.2010, 18:15

Mulder

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Zitat:

Original von Rose123678
Also ich dachte eine Basis wird immer von zwei linear unabhängigen Vektoren gebildet...

Was IST denn überhaupt ganz allgemein eine Basis eines Vektorraums?

09.09.2010, 18:36

Rose123678

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Wikipedia verrät es mir:
In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt

Müsste man jetzt nur noch verstehen Big Laugh

Ist eine Basis eine bestimmte Anzahl von Vektoren? Die "Mindestanzahl", die ich benötige, um einen Vektorraum aufzuspannen?

09.09.2010, 19:12

Mulder

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Zitat:

Original von Rose123678
Ist eine Basis eine bestimmte Anzahl von Vektoren? Die "Mindestanzahl", die ich benötige, um einen Vektorraum aufzuspannen?

So könnte man es sagen, ja. Die Elemente einer Basis sind dementsprechend alle linear unabhängig. Ihr habt sicher auch den Begriff "Erzeugendensystem" kennengelernt. Eine Basis ist nun eben ein minimales Erzeugendensystem.

Vielleicht mal ein illustrierendes Beispiel. Nehmen wir mal den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Die Menge der Elemente der Basis eines Vektorraums entspricht gerade der Dimension. Das ist das, was man als Dimension bezeichnet. Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hat also die Dimension 2 (hattest du ja schon gesagt). Eine Basis wäre also beim $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} B = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

Einverstanden? Damit wird der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Jedes Element des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ können wir als eindeutige Linearkombination der beiden Vektroren aus B darstellen. Wenn wir auch nur ein Element aus der Menge B entfernen, können wir damit den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ aber nicht mehr erzeugen. Auch einverstanden?

Ein Erzeugendensystem hingegen muss nicht zwingend linear unabhängig sein. Beispiel für ein Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} B = \left \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \end{pmatrix} \right \} \end{eqnarray*}$

Auch damit wird der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ erzeugt. Allerdings sind die Vektoren linear abhängig. Das heißt, wir haben mehr Vektoren drin, als wir eigentlich unbedingt benötigen würden. Denn wir haben ja zu der Basis jetzt einen unnützen Vektor hinzugepackt. Darum ist es kein minimales Erzeugendensystem, ergo keine Basis mehr. Aber es Erzeugendensystem bleibt es ja trotzdem.

So, jetzt zurück zu deiner Aufgabe. Die drei Vektoren, die du gegeben hast, bilden ein Erzeugendensystem von U. Was ist denn nun eine Basis? Bedenke auch, dass ein Vektorraum im Allgemeinen nicht nur eine Basis, sondern mehrere oder gar unendlich viele Basen besitzt.

Fazit: Jede Basis ist ein Erzeugendensystem, aber nicht jedes Erzeugendensystem ist auch eine Basis. Eine Basis ist ein ganz besonderes Erzeugendensystem (eben eines, in dem alle Elemente linear unabängig sind).

09.09.2010, 19:26

Rose123678

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Den Begriff "Erzeugendensystem" habe ich leider bisher nicht kennengelernt.... :S das erschwert die Sache erneut! Dennoch vielen Dank für die Mühe!

Zu meiner Aufgabe:
1. Meine drei anfänglichen Vektoren sind (wie mit dem Gleichungssystem gezeigt) voneinander linear abhängig. Ich verstehe immernoch nicht, wie ich also eine Basis bilden kann, denn eine Basis besteht doch eigentlich aus linear UNabhängigen Vektoren.... oder bring ich gerad alles komplett durcheinander traurig

?

2. Nehmen wir an, das Lösen des Gleichungssystem hätte gezeigt, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Dann wäre eine Basis einfach der Anfangsvektor oder?

09.09.2010, 19:32

Mulder

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Zitat:

Original von Rose123678
1. Meine drei anfänglichen Vektoren sind (wie mit dem Gleichungssystem gezeigt) voneinander linear abhängig. Ich verstehe immernoch nicht, wie ich also eine Basis bilden kann, denn eine Basis besteht doch eigentlich aus linear UNabhängigen Vektoren....

Richtig. Folglich musst du solange Vektoren rausstreichen, bis die Vektoren, die übrig bleiben, eben linear unabhängig sind. Drei sind zuviel. Also einen weg. Wegwerfen. Ausradieren. Löschen. Wieviele bleiben dann übrig? Richtig, zwei. Sind die dann linear unabhängig? Welche Dimension hat dann U?

Zitat:

Original von Rose123678
2. Nehmen wir an, das Lösen des Gleichungssystem hätte gezeigt, dass die drei Vektoren linear unabhängig sind. Dann wäre eine Basis einfach der Anfangsvektor oder?

Was meinst du mit "Anfangsvektor"? Bitte deutlich ausdrücken, was du sagen willst! Wenn die drei Vektoren linear unabhängig gewesen wären, dann wäre die Menge dieser drei Vektoren eine Basis von U gewesen.

09.09.2010, 19:43

Rose123678

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Ok also ich streich einen von den drei linear abhängigen Vektoren raus.
Bleiben zwei (linear unabhängige!) Vektoren übrig.
Diese beiden bilden nun meine Basis.

Folgt also (Konkret auf meine Aufgabe bezogen)

Basis B ={Vektor a, Vektor b} = {(8,-2,-3) ; (4,2,1)}

oder

B = {Vektor b, Bektor c} ???

09.09.2010, 19:51

Mulder

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Zitat:

Original von Rose123678
Basis B ={Vektor a, Vektor b} = {(8,-2,-3) ; (4,2,1)}

oder

B = {Vektor b, Bektor c} ???

Das sind beides Basen von U. Und du kannst auch noch eine Dritte nennen:

B = {Vektor a, Vektor c}

Welche du für deine Aufgabe nimmst, ist völlig egal. Die Aufgabe war ja, IRGENDEINE Basis für U anzugeben.

09.09.2010, 19:57

Rose123678

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Vielen vielen Dank für die Bemühungen!!!

Eine letzte Frage bleibt: Wieso ist folgende Aussage dann nicht richtig? Haben Sie ein Gegenbeispiel?
Dimension = 2 --> Basis muss zwei Vektoren enthalten
Dimension = 3 --> Basis muss drei Vektoren enthalten

09.09.2010, 20:08

Mulder

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Sorry, damit kann ich jetzt nichts anfangen. Wenn ein Vektorraum die Dimension n hat, dann muss eine etwaige Basis dieses Vektorraums auch genau n Vektoren enthalten. Das einzige, was mir dazu einfallen würde, wäre, dass da nicht "genau 2" oder "genau 3" steht. Ist das auch wirklich der genaue Wortlaut? Da du nicht mit dem Formeleditor arbeitest, weiß ich auch nicht, ob Missverständnisse wirklich ausgeschlossen sind.

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