Lineare Algebra Grundlagen

09.09.2010, 20:08

mzh

Lineare Algebra Grundlagen

Hallo zusammen
Ich arbeite an Szabo/Ostlund, Modern Quantum Chemistry.
Aufgabe 1.1:
Show that $\begin{eqnarray*} O_{ij} = \vec{e}_i \cdot \mathcal O \vec{e}_j \end{eqnarray*}$ .
Es gilt, $\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{e}_i = \sum_{j=1}^{3} \vec{e}_j O_{ji}, \> i = 1, 2, 3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{a} = \vec{b} \end{eqnarray*}$ .
Ich weiss auch, dass wenn ich den Basisvektor $\begin{eqnarray*} \vec{e}_j \end{eqnarray*}$ mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ skalar multipliziere, erhalte ich die Komponente $\begin{eqnarray*} a_j \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \vec{e}_j \cdot \vec{a} = \sum_i \vec{e}_j \cdot \vec{e}_i a_i = \sum_i \delta_{ij} a_i = a_j \end{eqnarray*}$ .

Aber wie gehe ich jetzt hier vor? Ich wäre froh um einen Tipp.

09.09.2010, 21:27

tigerbine

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Buchstabensuppe.
Ganz schön viele Variablen. Wir sind wohl im IR³? Oder zumindest in einem dreidimensionalen VR?

Wie heißt denn das Kapitel, in dem die Aufgabe auftaucht?

Was soll $\begin{eqnarray*} O \end{eqnarray*}$ sein und was $\begin{eqnarray*} \mathcal O \end{eqnarray*}$ . Sollen das 2 Matrizen sein?

Gruß,
Wink

09.09.2010, 21:32

mzh

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Hallo
Nein, das ist so gemeint, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal O \end{eqnarray*}$ ein Operator ist (der als Matrix aufgefasst werden kann) und $\begin{eqnarray*} O_{ij} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} ij \end{eqnarray*}$ -te Element der Operatormatrix.
Das Kapitel ist "Mathematical Review" und ich muss mich das wieder einarbeiten.

09.09.2010, 21:45

tigerbine

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Zitat:

Der Begriff Linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der linearen Abbildung.

Also was steht denn da eigentlich. Man stattet den Raum mit der SEB aus. Was passiert, wenn man darauf die Abbildung wirken lässt? Das ist dir nun gegebeb, korrekt?

$\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{e}_1 =O_{11}\vec{e}_1 + O_{21}\vec{e}_2 + O_{31}\vec{e}_3 \end{eqnarray*}$

Das heißt ja, der Bildvektor des Basisvektors $\begin{eqnarray*} \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$ steht in seinen Koordinaten bzgl. der SEB in der ersten Spalte von O. Wie "üblich". Das gilt nun für alle Basisvektoren und die entsprechende Spalte. Damit sollst du nun zeigen, dass du ein Matrixelement wie folgt bekommst.

$\begin{eqnarray*} O_{ij} = \vec{e}_i \cdot \mathcal O \vec{e}_j \end{eqnarray*}$

Probier es doch mal konkret aus für i=1,j=1. Auf was kommst du dann im nächsten Schritt?

09.09.2010, 21:50

mzh

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Sorry, nur ganz kurz, was bedeutet "SEB"? S-Einheitsbasis? Ja, ich bin noch nicht sicher im Umgang mit den Indices.

09.09.2010, 22:01

tigerbine

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Sorry, Ja, Standardeinheitsbasis. Ich war zu tippfaul. Auch kanonische Einheitsbasis. In deinem Buch muss zu den "e" ja eigentlich auch was stehen. Es ist die Crux, sobald Matrix, muss ja eine Basis her, bzgl. der man darstellt.

09.09.2010, 22:04

mzh

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$\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{e}_1 =O_{11}\vec{e}_1 + O_{21}\vec{e}_2 + O_{31}\vec{e}_3 \end{eqnarray*}$

Wenn man das mit $\begin{eqnarray*} \vec{e}_i \end{eqnarray*}$ (und i=1, j=1) von links multipliziert bekommt man

$\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{e}_1 \vec{e}_1 = O_{11} \vec{e}_1 \vec{e}_1 + O_{21} \vec{e}_1 \vec{e}_2 + O_{31} \vec{e}_1 \vec{e}_3 \end{eqnarray*}$ , wobei das Operatorelement gleich nach links gerückt wurde. e1e1 ist gleich 1, e1e2 und e1e3 sind gleich Null. Also erhalte ich O11. Wäre das somit eine Art diese Aufgabe zu lösen?

09.09.2010, 22:15

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} \mathcal O \vec{e}_1 =O_{11}\vec{e}_1 + O_{21}\vec{e}_2 + O_{31}\vec{e}_3 \end{eqnarray*}$

Ich hatte hier umgekehrt, da man den Skalar doch meist links vor den Vektor schreibt. Sollte bislang nur eine Notationssache sein.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O_{ij} = \vec{e}_i \cdot \mathcal O \vec{e}_j \end{eqnarray*}$

Hier steht ja links ein Matrixeintrag, rechts ein Skalarprodukt.

$\begin{eqnarray*} O_{11} = \vec{e}_1 \cdot \mathcal O \vec{e}_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_{11} = \vec{e}_1 \cdot \left( O_{11}\vec{e}_1 + O_{21}\vec{e}_2 + O_{31}\vec{e}_3\right) \end{eqnarray*}$

Nun musst du Eigenschaften des SP benutzen und berücksichtigen, welche Vektoren orthogonal sind.

$\begin{eqnarray*} O_{11} = \vec{e}_1 \cdot \left( O_{11}\vec{e}_1) + \vec{e}_1 \cdot (O_{21}\vec{e}_2) + \vec{e}_1 \cdot (O_{31}\vec{e}_3\right) \end{eqnarray*}$

Skalara da nun definitionsgemäß rausziehen und dann SEB Wissen (hast du ja schon richtig gesagt) benutzen.

Allgemein geht das mit jeder Indexpaarung. Du kannst es also allgemein aufschreiben. Konkret wird es nur schneller "einsehbar".

09.09.2010, 22:38

mzh

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Nun musst du Eigenschaften des SP benutzen und berücksichtigen, welche Vektoren orthogonal sind.

$\begin{eqnarray*} O_{11} = \vec{e}_1 \cdot \left( O_{11}\vec{e}_1) + \vec{e}_1 \cdot (O_{21}\vec{e}_2) + \vec{e}_1 \cdot (O_{31}\vec{e}_3\right) \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass habe ich oben gemacht. Vielen Dank für die Hinweise. Ich versuche mir jetzt die Lösung allgemein aufzuschreiben.

09.09.2010, 22:46

tigerbine

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Du hast das schon richtig gemacht. Ich wollte nochmal die Begriffe erwähnen, die man benutzen muss. Wink

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