Unterschied Verteilungsfunktion und Dichtefunktion von stetigen Zufallsgrößen

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Chiara Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied Verteilungsfunktion und Dichtefunktion von stetigen Zufallsgrößen
Meine Frage:
Hallo alle zusammen,

ich habe mich den ganzen Tag mit Verteilungsfunktionen und Dichtefunktionen beschäftigt,da ich eine Hausarbeit zum Thema Exponentialverteilung schreibe und den Unterschied nicht ganz verstanden habe. Habe ziemlich viel Verwirrendes gelesen und wollte jetzt einfach mal meine Lösung darlegen, vielleicht kann mir jemand sagen ob ich das richtig verstanden habe.

Meine Ideen:
Die Dichtefunktion gibt ebenso wie die Verteilungsfunktion an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine stetige Zufallsvariable zwischen zwei reellen Zahlen a und b liegt. Mithilfe der Dichtefunktion muss man allerdings in den bekannten Grenzen a und b integrieren, weil die Wahrscheinlichkeit ja nur dem Integral in den Grenzen entspricht. Da dies zu kompliziert ist rechnet man dies bei einer konkreten Aufgabe am besten mit der Verteilungsfunktion, letzten Endes ist es aber das selbe?
Falls das jetzt immer noch komplett falsch ist, kennt jemand den konkreten Unterschied? Weil ich hab die Dichtefunktion und die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung und durch einfaches einsetzen erhält man ja unterschiedliche Ergebnisse...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied Verteilungsfunktion und Dichtefunktion von stetigen Zufallsgrößen
Ja, die Ableitung der (kumulativen) Verteilungsfunktion ist die D
ichtefunktion
.
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unterschied Verteilungsfunktion und Dichtefunktion von stetigen Zufallsgrößen
--
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

@Chiara

Es steht viel richtiges in deinem Beitrag, aber mit diesem "es ist dasselbe" solltest du nicht argumentieren. Das wäre so, als würdest du in der Physik sagen "Weg und Geschwindigkeit sind dasselbe". unglücklich
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Das klingt schonmal sehr hilfreich Augenzwinkern Heißt "es steht viel richtiges in deinem Beitrag", dass alles richtig ist, bis auf dieser Teil? Also, dass man quasi sagen kann, man kann mit der Verteilungsfunktion sowie mit der Dichtefunktion zum gleichen Ergebnis kommen, obwohl das Ergebnis der Dichtefunktion nicht als Wahrscheinlichkeit sondern als Wahrscheinlichkeitsdichte zu verstehen ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den leisen Verdacht, dass dir der Unterschied zwischen Verteilungsfunktion und Dichtefunktion doch nicht so völlig klar ist, obwohl deine Ausführungen viel Richtiges enthalten.

Das Grundelement der Stochastik ist die Wahrscheinlichkeit. Bei einer eindimensionalen Zufallsgröße kann die Wahrscheinlichkeit durch die eindimensionale Verteilungsfunktion ausgedrückt werden. Es ist per Definition



In Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße einen Wert kleiner oder gleich x hat, wird als die Verteilungsfunktion von bezeichnet. Daraus folgt:



Wie du siehst, ist bis hier her von der Dichtefunktion keine Rede. Die Dichtefunktion ist eine aus der Verteilungsfunktion abgeleitete Größe. Man kann sie nicht als gleichwertig zur Verteilungsfunktion betrachten. Es gilt wieder per Definition, wenn die Verteilungsfunktion einer eindimensionalen Zufallsgröße ableitbar ist, dann wird diese Ableitung als Dichtefunktion von bezeichnet.



Daraus folgt nun wieder:



Das hat nichts mit Stochastik zu tun. Es ist eine allgemeine Folgerung aus der Differential-/Integralrechnung. Aber diese Beziehung zeigt die Nützlichkeit der Dichtefunktion, sofern diese existiert.

Was ist nun, wenn die Verteilungsfunktion nicht differenzierbar ist? Das ist noch kein Beinbruch, wenn sie an einer maximal abzählbaren Menge von Punkten zwar stetig, aber nur einseitig differenzierbar ist. Dann kann man die Dichtefunktion mittels der einseitigen Ableitungen definieren und die so definierte Dichtefunktiom ist dann an höchstens abzählbar vielen Stellen unstetig. Es gilt dann aber unverändert:



Problematisch wird es, wenn die Verteilungsfunktion unstetig ist. Dann gibt es keine Dichtefunktion im herkömmlichen mathematischen Sinn. Deshalb können Verteilungsfunktion und Dichtefunktion auch nicht als gleichwertig betrachtet werden. Die Physiker können einen Teil dieser problematischen Fälle mittels der -Funktion erschlagen. Das ist aber im mathematischen Sinn keine Funktion und deshalb ein Gräuel für alle reinen Mathematiker. Möchte man dieses Gebiet mathematisch exakt erschlagen, muss man sich in die Tiefen bzw. Untiefen de Maßtheorie begeben.
 
 
Chiara Auf diesen Beitrag antworten »

Dass die Dichtefunktion die Abbleitung der Verteilungsfunktion ist, war mir schon klar.
Hab aber natürlich meine Frage wieder falsch gestellt: Meinte das allein auf die Exponentialverteilung bezogen und den Nutzen der Formeln von Dichte- und Verteilungsfunktion um Aufgaben um die Wahrscheinlichkeit von exponentialverteilten Zufallsgrößen zu lösen.
Da die Exponentialverteilung ja eine stetige Verteilung ist, gibt es dort auch keine Probleme mit dem Ableiten der Dichtefunktion aus der Verteilungsfunktion.
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