Nullmengen, Sigmaalgebra

07.11.2006, 17:13

Mazze

Nullmengen, Sigmaalgebra

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathfrak{A}, \mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum. Definiere
$\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 = A \cup N \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} A \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \subseteq B, \mu(B) = 0 \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist jetzt das $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 \end{eqnarray*}$ eine Sigmaalgebra ist.

Das die Vereinigung und die Grundmenge selber in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 \end{eqnarray*}$ liegen ist nicht schwer, allerdings die Mengendifferenz bereitet mir Kopfschmerzen. Seien

$\begin{eqnarray*} A,B \in \mathfrak{A}_0 \end{eqnarray*}$ also existieren Mengen

$\begin{eqnarray*} A',B',N,M \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(N) = 0,\mu(M) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N' \subseteq N, M' \subseteq M \end{eqnarray*}$ so dass

$\begin{eqnarray*} A = A' \cup N', B = B' \cup M' \end{eqnarray*}$

Also ich hab A und B nur als Vereinigung von Mengen aus $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ und Teilmengen von my-Nullmengen geschrieben, also nicht passiert bisher. So nun betrachte ich die Differenz

$\begin{eqnarray*} (A' \cup N') \setminus (B' \cup M') = A' \setminus(B' \cup M') \cup N' \setminus(B' \cup M') \end{eqnarray*}$

So das $\begin{eqnarray*} N' \setminus(B' \cup M') \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge einer my-nullmenge ist ist klar. Und wenn $\begin{eqnarray*} m \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ ist auch die linke Seite klar. Nur ist my ja nicht vollständig. Deshalb stockts hier leider unglücklich

Der ganze Aufwand wird betrieben um zu zeigen das man jedes Maß so fortsetzen kann das es vollständig wird, dabei ist die minimale Forsetzung gerade von der Form $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 = A \cup N \end{eqnarray*}$ . naja, und Dafür hätte ich schon ganz gern das $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A}_0 \end{eqnarray*}$ eine Sigmaalgebra wäre.

edit: hab die Striche korrigiert.

07.11.2006, 17:24

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Versuch doch einfach noch

$\begin{eqnarray*} A' \setminus(B' \cup M') = A' \setminus(B' \cup M) \cup \text{Nullmenge} \end{eqnarray*}$

zu zerlegen, dann bist du durch. Ich hätte übrigens die alternative Definition der Sigma-Algebra verwendet, wo man nur zeigen muss, dass mit jeder Menge auch ihr Komplement enthalten sein muss - ist weniger Schreibarbeit. Augenzwinkern

07.11.2006, 17:55

Mazze

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$\begin{eqnarray*} A' \setminus(B' \cup M') = A'\setminus (B' \cup M) \cup M\setminus (M' \cap A') \end{eqnarray*}$

Wen ich mich jetzt nicht ganz verguckt hab, und dann passt das!

Zitat:

Ich hätte übrigens die alternative Definition der Sigma-Algebra verwendet, wo man nur zeigen muss, dass mit jeder Menge auch ihr Komplement enthalten sein muss - ist weniger Schreibarbeit

Da hätte ich allerdings zeigen müssen das die wirklich äquivalent sind, da wir bisher nur mit dieser Definition gearbeitet haben Augenzwinkern

-

So, die abzählbare Vereinigung ist nicht schwer, jetzt also my gescheit auf $\begin{eqnarray*} \mathfrak A_0 \end{eqnarray*}$ fortsetzen, ich hatte da an sowas gedacht, da sich das Stückweise mache. Wenn $\begin{eqnarray*} A,N \in \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ solls gleich my sein, wenn A und N disjunkt sind gleich dem Maß von A , und wenn sie nicht disjunkt sind würd eich das äußere Maß auf die Vereinigung anwenden, etwa so

$\begin{eqnarray*} \mu_0(A \cup N) = \begin{cases} \mu(A \cup N), & A,N \in \mathfrak{A} \\ \mu(A), & A \in \mathfrak{A}, N \notin \mathfrak{A}, N \cap A = \varnothing \\ \mu^*(A \cup N), & sonst\end{cases} \end{eqnarray*}$

Bin mir da nur nicht mehr ganz sicher. Vollständig wäre es wohl da jede Teilmenge einer Nullmenge in der Sigmaalgebra ist, damit messbar und damit 0. Sigmaadditiv wäre es wohl da dass äußere Maß auf den messbaren Mengen sigmaadditiv ist.

07.11.2006, 18:02

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} A' \setminus(B' \cup M') = A'\setminus (B' \cup M) \cup M\setminus (M' \cap A') \end{eqnarray*}$

Intuitiv würde ich jetzt mal sagen: Das ist falsch. Wenn du willst, konstruiere ich dir auch noch ein Gegenbeispiel, aber da bin ich jetzt zu faul.

Ich hab sowas wie

$\begin{eqnarray*} A' \setminus(B' \cup M') = (A' \setminus(B' \cup M)) \cup ((A'\cap M)\setminus(B' \cup M')) \end{eqnarray*}$

raus - natürlich gibt es mehrere Varianten, wenn die Vereinigung nichtdisjunkt ist, und für jede der Varianten hat auch noch zig alternative Schreibweisen...

07.11.2006, 18:09

Mazze

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Ich hatte mir im nachhinein auch schon überlegt das dass falsch sein sollte, ich denke ich müsste die Menge nochmal mit A' schneiden also:

$\begin{eqnarray*} A' \setminus(B' \cup M') = A'\setminus (B' \cup M) \cup ((M\setminus (M' \cap A'))\cap A') \end{eqnarray*}$

Bei solchen Sachen verdreht man sich leicht die Windungen im Gehirn. Unser Übungsleiter meinte gar die Mengentheoretiker seien allesamt verrückt Big Laugh

. So wie es bei Dir steht denke ich passt es aber ich denk noch über meins nach.

07.11.2006, 18:42

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Die Mengendifferenz ist mir auch nie geheuer. Deswegen verwende ich bei Umformungen meistens lieber die Alternativdarstellung $\begin{eqnarray*} U\setminus V = U\cap V^c \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

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