Summe von Skalarprodukten maximieren

10.09.2010, 10:30

lalexthepower

Summe von Skalarprodukten maximieren

Hi,
ich weiß nicht ob ich hier richtig damit bin aber
ich habe folgendes Problem:
Ich suche für $\begin{eqnarray*} k = 1, 2, . . . ,N \end{eqnarray*}$ orthonormale Vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{v}_1, \vec{v}_2, . . . ,\vec{v}_N \end{eqnarray*}$ , so dass:

$\begin{eqnarray*} \lambda_k=\frac{1}{n-1} \sum_{j =1}^N \vec{v_k}\vec{d}_j \end{eqnarray*}$ maximal wird.

Außerdem soll

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_N \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \vec{d}_1 , .. , \vec{d}_j \in V^N \ \end{eqnarray*}$ und bekannt.

Grundsätzlich könnte man die Summer zusammenfassen und dann partiell Differenzieren, aber das wir gerade für große N aufwendig. Außerdem ist auch die Anzahl von $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ nicht fest sondern kann ansteigen.

Hat vll jemand eine Idee für einen schnellen Algorithmus? Die Lösung mit dem Computer wird angestrebt.

Danke im vorraus.

MfG
lalexthepower

10.09.2010, 14:49

Reksilat

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RE: Summe von Skalarprodukten maximieren
Hi latexthepower,

WAS genau soll denn maximiert werden? Die Summe der Beträge über alle $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ ? Oder soll $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ maximal sein? Oder die 2-Norm?

Außerdem sind die Indizes etwas verwirrend. Einerseits soll es $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ geben, andererseits summierst Du oben über $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Was stimmt nun?

Weiterhin ist mir nicht klar, warum es überhaupt mehrere $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ geben muss, da in Deiner Aufgabe ja nur die Summe über alle $\begin{eqnarray*} d_i \end{eqnarray*}$ von Bedeutung ist.

btw.: Verschoben nach Sonstiges

Gruß,
Reksilat.

11.09.2010, 20:51

lalexthepower

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RE: Summe von Skalarprodukten maximieren
Ja,
ich sehe gerade, dass die Indizes wirklich etwas verwirrend sind, ich werde es gleich nach bessern. Außerdem fehlt auch noch ein quadrat... tschuldigung

Also es soll zuerst mal $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ maximal werden.

Ich versuche hier mithilfe von Vektoren Muster in Bilder zu erkennen.

Also vll hilft die Interpretation zu verstehen, was ich will:

Die obige Summe wird groß, wenn die Richtung der
Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{v}_k \end{eqnarray*}$ "möglichst gut" mit allen Bildern $\begin{eqnarray*} \vec{d}_j \end{eqnarray*}$ übereinstimmt.

11.09.2010, 20:53

lalexthepower

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RE: Summe von Skalarprodukten maximieren

Zitat:

Original von lalexthepower
Hi,
ich weiß nicht ob ich hier richtig damit bin aber
ich habe folgendes Problem:
Ich suche für $\begin{eqnarray*} k = 1, 2, . . . ,N \end{eqnarray*}$ orthonormale Vektoren
$\begin{eqnarray*} \vec{v}_1, \vec{v}_2, . . . ,\vec{v}_N \end{eqnarray*}$ , so dass:

$\begin{eqnarray*} \lambda_k=\frac{1}{p-1} \sum_{j =1}^p (\vec{v_k}\vec{d}_j)^2 \end{eqnarray*}$ maximal wird.

Außerdem soll

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq ... \geq \lambda_N \geq 0 \end{eqnarray*}$ gelten

Dabei sind $\begin{eqnarray*} \vec{d}_1 , .. , \vec{d}_p \in V^N \ \end{eqnarray*}$ und bekannt.

Grundsätzlich könnte man die Summer zusammenfassen und dann partiell Differenzieren, aber das wir gerade für große N aufwendig. Außerdem ist auch die Anzahl von $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ nicht fest sondern kann ansteigen.

Hat vll jemand eine Idee für einen schnellen Algorithmus? Die Lösung mit dem Computer wird angestrebt.

Danke im vorraus.

MfG
lalexthepower

so ist sie gemeint.

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