Potential (vers. Fragen) Arbeitsintegral

10.09.2010, 13:36

TH0R

Potential (vers. Fragen) Arbeitsintegral

Ich muss verschiedene Potenziale berechnen von Vektorfeldern.
Bei den Vektorfeldern mit 2 Variablen hatte ich keine Probleme.

F(x,y,z)=(zcosy,-zxsin(y)+z,xcos(y)+y)^T

Ich habe dann jedes mit jedem Verglichen bei den vers. ableitungen und es ergab sich das Potenzial vorhanden ist.

für den x teil hatte ich dann phi= zxcos(y) + C(y,z)

Ist das korrekt mit dem C ?

Für y hatte ich phi=zy + C(z)

Richtig so mit C ?

Und für Z dachte ich wäre es so xcos(y)+y=phyz=xcos(y)+c´(z) dann umstellen und aufleiten, jedoch soll hier xcosy+y=xcosy+y +c´(z) laut lösung stehen und das versteh ich nicht. damit würde es ja wegfall und ich hätte noch was zum aufleiten.

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Andere Aufgabe

F(x)=(f1,f2,f3)^T=cm $\begin{eqnarray*} \frac{X}{||X||^{3} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(x1,x2,x3)}{||(x1,x2,x3)||^{3} } \end{eqnarray*}$

wieso ist dann:

die Ableitung von f2 nach x1 und die ableitung von f1 nach x2 =

-3cm* $\begin{eqnarray*} \frac{x1x2}{||X||^{5} } \end{eqnarray*}$

wieso hoch 5 ?

10.09.2010, 18:14

Mulder

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RE: Potential (vers. Fragen) Arbeitsintegral

Zitat:

Original von TH0R
Und für Z dachte ich wäre es so xcos(y)+y=phyz=xcos(y)+c´(z) dann umstellen und aufleiten, jedoch soll hier xcosy+y=xcosy+y +c´(z) laut lösung stehen und das versteh ich nicht. damit würde es ja wegfall und ich hätte noch was zum aufleiten.

Mal ehrlich, lies dir das mal durch: Wenn dir jemand sowas hinklatschen würde, was würdest du davon halten?

Wenn du ein Potential finden willst, schreibt erstmal hin, was du weißt:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial x} = z \cos(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial y} = -zx \sin(y)+z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial z} = x \cos(y)+y \end{eqnarray*}$

Jetzt jeweils auf beiden Seiten integrieren. Bei der Integration nach x hast du das ganz richtig gemacht, da erhält man schon mal als erstes Resultat:

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) = zx \cos(y)+C(y,z) \end{eqnarray*}$

Mach das doch analog auch für y und z. Integriere (2) auf beiden Seiten nach y und (3) auf beiden Seiten nach z. Wenn du die drei Resultate dann vergleichst, wird die Lösung sehr einfach.

Zitat:

Original von TH0R
Andere Aufgabe [...]
wieso hoch 5 ?

Schreib das Ding mal um:

$\begin{eqnarray*} f(x_1,x_2,x_3) = (x_1^2+x_2^2+x_3^2)^{-\frac{3}{2}} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier ist jetzt nichts weiter verlangt, als nach der Kettenregel abzuleiten. Das sollte zu schaffen sein. Die 5 im Exponenten erklärt sich dann eigentlich von alleine, wenn man später das Ganze wieder als Wurzel, bzw. gleich wieder als Norm schreibt.

11.09.2010, 13:11

TH0R

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RE: Potential (vers. Fragen) Arbeitsintegral
Dein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial x} = z \cos(y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial y} = -zx \sin(y)+z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial z} = x \cos(y)+y \end{eqnarray*}$

Jetzt jeweils auf beiden Seiten integrieren. Bei der Integration nach x hast du das ganz richtig gemacht, da erhält man schon mal als erstes Resultat:

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z) = zx \cos(y)+C(y,z) \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (2) -zx sin(y)+C'(y,z) = -zx \sin(y)+z \end{eqnarray*}$

Dann umstellen nach C'(y,z) und dann aufleiten daraus folgt ja zy+C(z).

$\begin{eqnarray*} (3) x cos(y)+C'(y) = x \cos(y)+y \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} \quad \frac{ \partial \phi}{\partial z} \end{eqnarray*}$ ist ja dann auf der linken seite, aber dann für ja y stehenbleiben und man könnte noch integrieren.

Jedoch sollte die Lösung

$\begin{eqnarray*} \phi(x,y,z)=xzcosy+yz+C \end{eqnarray*}$ sein.

Damit müsste der Z-Teil ja null werden und man könnte nicht mehr integrieren und würde so das Ergebnis erhalten.
Die anderen Teile sind ja korrekt soweit.

Ich glaub ich steh aufm Schlauch. Danke schonmal. Hoffe Übersicht ist so besser sorry.

11.09.2010, 14:33

Mulder

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RE: Potential (vers. Fragen) Arbeitsintegral
Ich kann beim besten Willen nicht nachvollziehen, was du meinst. Bei (2) machst du, glaube ich, noch das richtige. Bei (3) kann ich es endgültig nicht mehr rauslesen, was du sagen willst. Vielleicht meldet sich hier ja noch jemand mit besseren Fremdsprachenkenntnissen.

Sowas hier beispielsweise...

Zitat:

Dann $\begin{eqnarray*} \quad \frac{ \partial \phi}{\partial z} \end{eqnarray*}$ ist ja dann auf der linken seite, aber dann für ja y stehenbleiben und man könnte noch integrieren.

... wie soll man das verstehen? Das ist überhaupt kein deutscher Satz.

$\begin{eqnarray*} (1) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial x} = z \cos(y) \qquad \Rightarrow \qquad \int z \cos(y) \, \dx = xz \cos(y) + C \qquad \Rightarrow \qquad \phi(x,y,z) = zx \cos(y)+C(y,z) \end{eqnarray*}$

Da wurde nach x integriert. Das C(y,z) deshalb, weil Funktionen, die nur von y und/oder z abhängen, beim partiellen Ableiten nach x ja wieder verschwinden würden. Also können beim Integrieren ja auch welche hinzukommen. Denn beim Ableiten nach x sind y und z ja als Konstanten zu behandeln.

$\begin{eqnarray*} (2) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial y} = -zx \sin(y)+z \qquad \Rightarrow \qquad \int (-zx \sin(y) +z) \, \dd y = xz \cos(y) + yz + C \qquad \Rightarrow \qquad \phi(x,y,z) = xz \cos(y)+zy +C(z) \end{eqnarray*}$

Genau der gleiche Salat. Integrieren nach y liefert das Ergebnis auf der rechten Seite. Theoretisch können hier natürlich auch wieder Funktionen abhängig von x und z dazu kommen (darum C(x,z). Weitere Funktionen, die von x abhängen, haben wir aber mit Gleichung (1) schon ausgeschlossen, das wäre sonst ja dort schon aufgetaucht. Als kann man aus dem C(x,z) schonmal ein C(z) machen. Nur eine Funktion abhängig von z wäre noch möglich, damit (1) und (2) erfüllt sein können.

$\begin{eqnarray*} (3) \quad \frac{ \partial \phi}{\partial z} = x \cos(y)+y \qquad \Rightarrow \qquad \int (x \cos(y) +y) \, \dd z = xz \cos(y) + yz + C \qquad \Rightarrow \qquad \phi(x,y,z) = xz \cos(y) +yz \end{eqnarray*}$

Hier nach z integrieren und siehe da: Passt. Die Integrationskonstante kann (muss) man noch hinzufügen, fertig.

11.09.2010, 15:24

TH0R

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ahhh ok jetzt hab ich meinen Fehler gefunden.

vielen dank. ja der satz ist merkwürdig sorry. hab ich wohl nicht darauf geachtet,als ich meinene gedanken zusammengetragen habe.

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Ich hätte noch eine Frage zum Vektorfeld und Potential.

Grundfunktion:
$\begin{eqnarray*} F(x,y,z)=(7x+6y+8z+3,ax+5y+4,bx+cy+9z)^T \end{eqnarray*}$

dann habe ich a,b,c bestimmt zu a=6 ,b=8 und c=0 damit Potenzial möglich ist.

Dann habe ich das Potenzial bestimmt:

$\begin{eqnarray*} \phi (x,y,z)=\frac{7}{2} x^{2}+\frac{5}{2}y^{2}+\frac{9}{2}z^{2}+6xy+8xz+3x+4y+const. \end{eqnarray*}$

Nun soll ich eine Matrix aufstellen damit für die F(x)=AX+B gilt. Die Matrix soll die Eigenschaften für Potenzial verfügen, wie muss das aussehen ?
Außerdem soll ich das auch für $\begin{eqnarray*} \phi(x) \end{eqnarray*}$ angeben.

$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{vmatrix} 7 & a & b \\ 6 & 5 & c \\ 8 & 0 & 9 \end{vmatrix} *X+B \end{eqnarray*}$

Ich dachte mir das für a,b,c dann die Lösung von oben in betracht kommen muss für die erforderlichen Eigenschaften, soweit korrekt.
Nun muss man noch B bestimmen wie geht das ?

B soll $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein.

Für das Potenzial gilt: $\begin{eqnarray*} \phi(X)=\frac{1}{2}X^{T}AX + B^{T}X +const. \end{eqnarray*}$
Das ist doch dann eine Standardformel oder ?

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