problem beim differenzieren

11.09.2010, 13:43

keinereiner

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problem beim differenzieren

Hi. Bei dieser Aufgabe komme ich nicht auf die Lösung.

eigen Sie die Gültigkeit des Verifizierungsprinzips:

$\begin{eqnarray*} \int \! sin(3x)*cos(3x) \, dx = \frac{1}{6} * \sin²(3x) + C \end{eqnarray*}$

Das hab ich jetzt mit der Produktregel versucht:

$\begin{eqnarray*} u = sin(3x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} u' = 3*cos(3x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v'=sin(3x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} v=\frac{-1}{3}* cos(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} (sin(3x)*sin(3x))' \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * (3cos(3x)*(-\frac{1}{3}cos(3x))+sin²(3x) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} * (-cos²(3x)) + sin²(3x)) \end{eqnarray*}$

Danke schonmal, Ben

11.09.2010, 13:49

Iorek

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Ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung was du da machst...welche Richtung willst du berechnen?

11.09.2010, 13:52

keinereiner

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aso sorry. ich soll die Stammfunktion ableiten

11.09.2010, 13:54

Iorek

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Wie kommst du denn dann auf $\begin{eqnarray*} v=-\frac 13 \cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} u=v=\sin(3x) \end{eqnarray*}$ , der Cosinus hat da noch nichts zu suchen.

11.09.2010, 13:56

keinereiner

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aso moment ja.

ich versuchs mal neu

11.09.2010, 14:00

keinereiner

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ok hat sich erledigt. hab einen fehler bei der produktregel gemacht, weil ich diese mit der partiellen int. im kopf zusammengewürfelt hab verwirrt

verwirrt

thx

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11.09.2010, 14:02

Iorek

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Dann ist ja alles klar Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.09.2010, 14:15

keinereiner

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habe aber noch so eine aufgabe, bei der ich irgendwie nicht auf die lösung komme:

\sqrt{x²-4} - 2*arccos(\frac{2}{x}) +C soll abgeleitet

\frac{\sqrt{x²-4} }{x} sein.

Also Summenregel.

1. Teil: (\sqrt{x²-4})' = 1/2*\sqrt{x²-4}
2. Teil unglücklich

unglücklich

2*arccos(\frac{2}{x}))' = 2*ln|\frac{2}{x} *2*\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x}) } }

oder?

11.09.2010, 14:17

keinereiner

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-4} - 2*arccos(\frac{2}{x}) \end{eqnarray*}$ +C soll abgeleitet

$\begin{eqnarray*} frac{\sqrt{x²-4} }{x} \end{eqnarray*}$ sein.

Also Summenregel.

1. Teil: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²-4})' = 1/2*\sqrt{x²-4} \end{eqnarray*}$
2. Teil $\begin{eqnarray*} 2*arccos(\frac{2}{x}))' = 2*ln|\frac{2}{x} *2*\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x}) } } \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 14:22

keinereiner

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so also. hab jetzt mal regisitriert, kann nicht editieren, also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²-4} - 2*arccos(\frac{2}{x}) \end{eqnarray*}$ +C soll abgeleitet

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x²-4} }{x} \end{eqnarray*}$ sein.

Also Summenregel.

1. Teil: $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x²-4})' = \frac{1}{2*\sqrt{x²-4}} \end{eqnarray*}$
2. Teil $\begin{eqnarray*} 2*arccos(\frac{2}{x}))' = 2*ln|\frac{2}{x} *2*\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{2}{x}) } } \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 14:23

Iorek

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Du musst in beiden Fällen die Kettenregel anwenden.

Wie kommst du beim zweiten Teil auf den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ ?

11.09.2010, 16:10

keinereiner

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Ok also 2. Teil:

Innere Ableitung * äußere Ableitung

Innere Ableitung:
$\begin{eqnarray*} (\frac{2}{x})' = 2*(x^{-1} )' = -\frac{2}{x²} \end{eqnarray*}$
Äußere Ableitung:
$\begin{eqnarray*} -2*(arccos(u))' = -2*(\frac{-1}{\sqrt{1-u²} } ) = \frac{2}{\sqrt{1-u²} } \end{eqnarray*}$

und dann
$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{x²}*\frac{2}{\sqrt{1-\frac{4}{x²}} } = \frac{-4}{x²\sqrt{1-\frac{4}{x²}}} \end{eqnarray*}$

und jetzt
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2*\sqrt{x²-4} }+ \frac{-4}{x²\sqrt{1-\frac{4}{x²}}} \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 16:17

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Du musst in beiden Fällen die Kettenregel anwenden.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2-4} \end{eqnarray*}$ stimmt noch nicht.

11.09.2010, 16:36

keinereiner

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x²-4} } -\frac{4}{x²*\sqrt{1-\frac{4}{x²} } } \end{eqnarray*}$

aber wie kann ich das jetzt zusammenfassen...? das x muss ja in den nenner und die wurzel in den zähler?

11.09.2010, 16:47

Iorek

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Und wieso zusammenfassen? Du kannst das zwar noch auf den Hauptnenner bringen etc., ich würde das aber einfach so stehen lassen smile

smile

Edit: Quatsch, natürlich ist die 4 richtig, hab den Vorfaktor übersehen, sorry.

11.09.2010, 16:50

keinereiner

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joa die lösung der aufgabe steht ja dabei. und da is das x im nenner und die wurzel im zähler.

11.09.2010, 16:54

Iorek

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Welches x muss wohin? Die Ableitung stimmt jetzt so, du kannst die natürlich noch beliebig umformen, das ist aber nicht nötig.

11.09.2010, 17:01

keinereiner

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so steht die aufgabe im buch:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(\frac{\sqrt{x²-4}}{x} ) \, dx =\sqrt{x²-4} -2* arccos(\frac{2}{x}) +C \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 17:11

Iorek

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Was soll denn deine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein die noch benutzt wird? verwirrt

verwirrt

Kannst du bitte mal die genaue Aufgabenstellung posten, ich werde das Gefühl nicht los, dass du irgendwas verschweigst.

11.09.2010, 17:40

keinereiner

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ok sorry das f gehört da nicht hin.

das is die aufgabenstellung:

Die im folgenden aufgeführten Integralformeln haben wir einer Integraltafel entnommen. Zeigne Sie nach dem sog. "Verifizierungsprinzip" die Gültigkeit dieser Beziehungen

sorry is nochn bissl ungewohnt mit dem formeleditor

11.09.2010, 18:04

Iorek

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Also ich hab jetzt mehrere Umformungen versucht, ich bekomme 3 weitere Darstellungen hin die alle nicht unbedingt schön sind, aber die aus dem Buch ist nicht dabei...vllt. sieht ja wer anders die Umformung die mir gefrade fehlt?

Edit: Wobei mir ein Fehler in der Ableitung aufgefallen ist, es muss $\begin{eqnarray*} \frac x{x^2-4}+\frac 4{x^2\cdot \sqrt{1-\frac 4{x^2}}} \end{eqnarray*}$ sein.

11.09.2010, 18:13

keinereiner

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ok danke dir.

vielleicht is denen ein fehler unterlaufen, es ist auch nicht gerade eine aktuelle auflage.

Auf die Lösungen der anderen 3 aus dieser Aufgabe bin ich gekommen, also am Weg liegts dann nicht

11.09.2010, 18:37

Huggy

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Also, die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{4}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}} \end{eqnarray*}$

sollte richtig sein. Und dann folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{4}{x^2\sqrt{1-\frac{4}{x^2}}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}-\frac{4}{x\sqrt{x^2-4}}=\frac{x^2-4}{x\sqrt{x^2-4}}=\frac{\sqrt{x^2-4}}{x} \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 18:39

Iorek

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Finger1

Ich hab immer $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ mit unter die Wurzel gezogen...

Ja, damit ist das natürlich klar, danke Huggy. smile

smile

11.09.2010, 20:07

keinereiner

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aha ok.

kapiert

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