komplexes Fourierpolynom

11.09.2010, 14:49	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexes Fourierpolynom Hey Leute, habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Bestimmen Sie das n-te komplexe Forierpolynom dieser 1-periodischen Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)=x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ . Bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} c_k \end{eqnarray}$ komm ich nun nicht weiter. Ich habe nun dieses Integral aufgestellt: $\begin{eqnarray} c_k=\int_0^1 \! x \cdot e^{-2\pi ikx} \, dx \end{eqnarray}$ Nachdem ich dieses nun mittels partieller Integration gelöst habe, komme ich auf: $\begin{eqnarray} c_k=(-\frac{1}{2\pi ik}+ \frac{1}{4\pi^2 k^2})\cdot e^{-2\pi ik}-\frac{1}{4\pi^2 k^2} \end{eqnarray}$ Die Musterlösung gibt mir hingegen: $\begin{eqnarray} c_k=-\frac{1}{i2k\pi }-\left[\frac{e^{-i2k\pi x}}{-4k^2\pi ^2} \right]_{0}^{1}=\frac{i}{2k\pi } \end{eqnarray}$ Was habe ich falsch gemacht? Dankeschön schonmal für eure Antworten!! Gruß
11.09.2010, 16:12	wogir	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist, stimmt doch alles.
12.09.2010, 12:53	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke . Nur frage ich mich noch, wie kann ich denn mein Ergebnis so umformen, das es die gleiche Form wie die Musterlösung hat? Danke schonmal!! Gruß
12.09.2010, 13:43	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Antwort ist denkbar einfach: $\begin{eqnarray} e^{2\pi i k} = 1 \quad\forall k \in \mathbb N \end{eqnarray}$
13.09.2010, 00:30	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...ok...aber warum ist denn $\begin{eqnarray} e^{2\pi ik}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ??? sorry, wenn ich mich da gerad etwas dumm anstell.
13.09.2010, 10:01	nils mathe lk hems	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{2\pi ik} = \cos(2\pi k)+i sin(2\pi k) = 1 \end{eqnarray}$ da k = 1,2,3,4,... wenn ich mich jetzt nicht täusche $\begin{eqnarray} -\frac{1}{2\pi ik}+ \frac{1}{4\pi^2 k^2} -\frac{1}{4\pi^2 k^2}= -\frac{1}{2\pi ik}=\frac{i}{2\pi k} \end{eqnarray}$ da : $\begin{eqnarray} -\frac{1}{i} = i \end{eqnarray}$
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13.09.2010, 12:37	Galileo995703	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!!! Jetzt hab ich endlich klarheit .

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