Grenzwert berechnen

11.09.2010, 21:13

Johnny1234

Grenzwert berechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (\sqrt{x^2+1}-x) \end{eqnarray*}$

Hi wir sollen hier den Grenzwert berechnen.

Ich hab das sonst immer ganz einfach mit einsetzen gemacht, aber wollte mal fragen ob es da auch einen mathematischen Weg gibt?

11.09.2010, 21:19

Calvin

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Erweitere mit $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}+x} \end{eqnarray*}$

11.09.2010, 22:18

Johnny1234

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$\begin{eqnarray*} \frac{x+1-x*x+1+x}{x+1+x} \end{eqnarray*}$

Die Wurzel war ja vollkommen überflüssig und deswegen hab ich die weggelassen stimmt das?

Naja aufjedenfall hab ich dass dann zusammengefasst

$\begin{eqnarray*} \frac{2x+1}{2x+1} \end{eqnarray*}$

Und nun? bzw ist das überhaupt so richtig?

11.09.2010, 22:35

corvus

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RE: grenzwert berechnen

Zitat:

Original von Johnny1234

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (\sqrt{x^2+1}-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{1} \end{eqnarray*}$ erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1}+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x+1-x*x+1+x}{x+1+x} \end{eqnarray*}$ geschockt

Die Wurzel war ja vollkommen überflüssig unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1} \neq x + 1 \end{eqnarray*}$

also: denke nochmal nach und mach es dann besser: -> ...
.

11.09.2010, 23:17

Johnny1234

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ok ich hab es jetzt mal mit der binomischen Formel versucht.

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^{2}-x^{2} }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

Aber weiss jetzt irgendwie nicht weiter

11.09.2010, 23:41

corvus

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x^2+1}-x}{1} \end{eqnarray*}$ erweitern mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+1}+x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Johnny1234
ok ich hab es jetzt mal mit der binomischen Formel versucht.

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1}-x)^{2}-x^{2} }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$ unglücklich

Aber weiss jetzt irgendwie nicht weiter

es gibt nicht "die binomische Formel" sondern deren drei .. oder so..

und hier solltest du beim Berechnen des Zählers die "dritte" Binomformel verwenden..

also: wie heisst der Zähler nach dem Erweitern dann richtig: ->..?
.

11.09.2010, 23:53

Johnny1234

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$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1})^{2}-x^{2} }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

Jetzt richtig?

12.09.2010, 00:05

corvus

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Zitat:

Original von Johnny1234
$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{x^2+1})^{2}-x^{2} }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

Jetzt richtig?

ja.. und was gibt denn $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2+1})^{2} \end{eqnarray*}$

dh: was steht dann schlussendlich im Zähler herum? verwirrt

12.09.2010, 00:16

Johnny1234

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$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

So und nun verwirrt

12.09.2010, 00:19

corvus

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Zitat:

Original von Johnny1234
$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

So und nun verwirrt

- hast du etwa schon vergessen, was du ursprünglich berechen wolltest?

.

12.09.2010, 11:48

Johnny1234

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$\begin{eqnarray*} \frac{1 }{\sqrt{x^2+1} +x} \end{eqnarray*}$

Also das ist jetzt einfach der Grenzwert oder wie?

12.09.2010, 11:51

Iorek

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Nein!

Das ist bisher nur eine Umformung die es dir ermöglicht den Grenzwert zu bestimmen. Nächster Schritt also: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac 1{\sqrt{x^2+1}+x}=? \end{eqnarray*}$

12.09.2010, 13:49

Johnny1234

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac 1{\sqrt{x^2+1}+x}=0 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert ist natürlich Null, weil der Nenner bei x\to\infty immer größer wird, aber wie schreibt man das Formal auf?

12.09.2010, 13:51

Iorek

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Das hängt ganz von deinen Möglichkeiten ab, das kann man ganz formal über die Definition der Konvergenz zeigen, alternativ findet man bestimmt etwas um das Sandwichlemma zu verwenden oder man verwendet Grenzwertsätze und bereits bekannte Grenzwerte...was einem gerade am besten gefällt.

12.09.2010, 14:10

Johnny1234

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mhh ok.

Kenn ich ehrlich gesagt alles noch nicht :-)

Hab mir gerade mal die Konvergenz angeguckt und werde daraus irgendwie nicht so schlau.

Könntest du mir vielleicht zeigen, wenn es nicht zu viel arbeit ist, wie man das macht anhand meiner Aufgabe?

12.09.2010, 14:12

Iorek

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In welchem Umfang sollst du das denn bestimmen? Wenn ihr noch nicht den Begriff der Konvergenz hattet und du den Begriff noch nicht verstanden hast, wird das recht schwer zu erklären.

12.09.2010, 14:26

Johnny1234

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Eigentlich bin ich schon fertig.

Wir bestimmen den Grenzwert in der Schule immer nur mit Einsetzen. Also wir setzen einfach für x möglichst große Zahlen ein und gucken dann was da so rauskommt.

Ich würde aber gerne mal wissen, wie man das anders zeigt.

Deswegen die Frage, ob du dass anhand meiner Aufgabe mal zeigen könntest oder vielleicht ein paar Internetseiten kennst, wo die Kovergenz möglichst verständlich und mit ein paar Beispielen erklärt wird.

12.09.2010, 14:36

Iorek

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Wenn du dich für die Konvergenz interessierst, würde ich dir erst einmal die Folgenkonvergenz empfehlen, der Wikipedia-Artikel gibt dafür schon einiges her. Auch unser [WS] Folgen & Reihen ist dafür sehr empfehlenswert.

Wenn dir das Konzept der Konvergenz klar geworden ist, könntest du den etwas allgemeineren Begriff des Grenzwerts einer reellen Funktion nachschlagen und dich einlesen.

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