Warum gilt p² teilt 11folgt p teilt 11?

11.09.2010, 21:37	Liza	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum gilt p² teilt 11folgt p teilt 11? Meine Frage: Hallo, ich habe in einem Beweis diese Folgerung stehen und verstehe nicht, warum das gilt. Hier steht: $\begin{eqnarray} p^2 \| 11 \Rightarrow p\|11 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich würde jetzt gerne wissen, warum diese Aussage gilt. Gilt das allgemein oder hängt das damit zusammen, dass 11 eine Primzahl ist? Kurz darauf kommt in dem Beweis nämlich noch $\begin{eqnarray} p^2 \| 7 \Rightarrow p\| 7 \end{eqnarray}$ und 7 ist ja auch eine Primzahl. Falls meine Vermutung richtig ist, würde mich interessieren, ob es einen leichten Beweis dazu gibt und wie ich dazu ansetzen könnte. Danke für eure Hilfe schon mal im Voraus Liza
11.09.2010, 22:01	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum gilt p² teilt 11folgt p teilt 11? $\begin{eqnarray} p^2 \| 11 \Leftrightarrow \exists q \, (p^{2}\cdot q = 11 ) \Leftrightarrow \exists q \, (p\cdot p q = 11 ) \Rightarrow p\|11 \end{eqnarray}$ (Vermutlich ist der andere Satz gemeint: $\begin{eqnarray} 11\|p^2 \Rightarrow 11\|p \end{eqnarray}$ )
14.09.2010, 00:16	Liza	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, jetzt seh ich erst wie einfach meine Aussage eigentlich zu zeigen ist. Wenn z.B. 49 eine Zahl x teilt, so teilt logischerweise auch 7 diese Zahl, da 7 ein Teiler von 49 ist. Und demensprechend gilt stets. Wenn eine Quadratzahl P² eine Zahl teilt, so wird auch p diese Zahl teilen. Danke nochmals für deinen anschaulichen Beweis. Da ist mir die Sache erst klar geworden. Ich habe wirklich diesen einfacheren Satz gemeint. Der andere Satz den du angesprochen hast ist der der z.B. bei der Irrationalität von Wurzel 2 vorkommt, oder? Dann gelten also beide Sätze Auch nicht schlecht...
14.09.2010, 00:20	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Viel interessanter ist doch, wie sinnvoll das konkrete Beispiel '11' ist. '11' ist, wie du sagtest, eine Primzahl. Die einzigen Teiler sind also 1 und 11 selbst. Jetzt überlege mal scharf, wie viele dieser Teiler Quadratzahlen sind und welche Möglichkeiten dann für p überhaupt noch bleiben. air
14.09.2010, 11:26	Liza	Auf diesen Beitrag antworten »
11 ist eine Primzahl, also hat sie nur die Teiler 1 und 11. 11 ist keine Quadratzahl. Aber 1 ist eine Quadratzahl da 1*1=1. Also ist die einzige Möglichkeit die für p noch bleibt 1, richtig? Denn 11 kann ich ausschließen, da es keine Quadratzahl ist.

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