Abschätzung zeigen

07.11.2006, 18:31

gast24

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Abschätzung zeigen

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme. unglücklich

unglücklich

Und zwar:

Zeige unter Verwendung der Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 1-x \leq e^{-x} \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} p_n \geq 1-exp[\frac{-n(n-1)}{730}] \end{eqnarray*}$

und bestimme die kleinste Anzahl n, bei der die rechte Seite (und somit auch p_n) mindestens 50% bzw. 90% ist.

Anscheinden soll das ziemlich leicht und kurz sein...aber leider fehlen mir da wohl die richtigen ideen. Wäre nett wenn mir dabei jemand helfen könnte.

Gott

Gott

07.11.2006, 18:44

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RE: Abschätzung zeigen
Vielleicht verrätst du uns auch noch, was $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ darstellen soll - wir können nämlich keine Gedanken lesen.

Oder doch? Hat es was mit Geburtstagswahrscheinlichkeiten zu tun, mindestens zwei am selben Tag o.ä. smile

smile

07.11.2006, 18:48

gast24

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ihr seid anscheinend doch seht gut in gedanken lesen smile

smile

stimmt hätt ich hinschreiben sollen, das hat was damit zu tun. wir hatten davor die aufgabe die wahrscheinlichkeit p_n zu bestimmen dass von n personen die in einem raum sitzen 2 am gleichen tag geburtstag haben. das hab ich gemacht, aber mit bei dieser ungleichung geht nichts mehr ... Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

07.11.2006, 18:50

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Dann fangen wir doch damit an, dass du die in der vorigen Aufgabe ermittelte Formel mal hervorkramst. Die führt man in eine geeignete Produktdarstellung über, wo man für jeden Faktor die obige Ungleichung anwendet.

07.11.2006, 18:58

gast24

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aalso lösung des gebrutstagsproblems ist:

$\begin{eqnarray*} p_n = \frac{365!}{(365-n)!*365^n} \end{eqnarray*}$

soweit ich mich nicht verrechnet hab ... und was bedeutet dann geeignete Produktdarstellung?

07.11.2006, 19:02

gast24

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ach ja, das was ich noch gemacht hab ist die Ungelichung die wir verwenden dürfen umzustellen:

$\begin{eqnarray*} 1-x \leq e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => 1-e^{-x}\leq x \end{eqnarray*}$

So sieht das zumindest schon der Ungleichung mit dem p_n ähnlich smile

smile

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07.11.2006, 19:08

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Ne, das mit dem Umstellen der Ungleichung lass mal, die hat schon die passende Form!

Ich schreib mal $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ etwas anders:

$\begin{eqnarray*} p_n = 1-\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \ldots \cdot \frac{365-n+1}{365} = 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \left( \frac{365-k}{365} \right) = 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{k}{365} \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt eine Idee? Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Ich hab mal das 1- eingefügt. Ansonsten wäre $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ nämlich die Wkt, dass keine zwei am selben Tag Geburtstag haben, also das Gegenteil des gesuchten!

07.11.2006, 19:18

gast24

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nicht wirklich muss ich zugeben, aber vielleicht kann man ja p_n anstelle von x einsetzen in die gleichung:

$\begin{eqnarray*} 1-x \leq e^{x} \end{eqnarray*}$ ? ist die richtung richtig? oder meintest du was eher anderes?

07.11.2006, 19:20

gast24

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oh ja ... die 1- habe ich bei meinem p_n auch vergessen .. die gehört da natürlich hin

07.11.2006, 19:20

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Wende die Ungleichung doch einfach für jeden Faktor des Produkts an! Also $\begin{eqnarray*} x=\frac{k}{365} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ , das springt doch geradezu ins Auge. Na Ok, zumindest in mein Auge. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2006, 20:05

gast24

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Also für

k=0: $\begin{eqnarray*} 1-0 \leq 1 \end{eqnarray*}$

k=1: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{2}{365} \leq e^{-\frac{1}{365}} \end{eqnarray*}$

....

k=n-1: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{n-1}{365} \leq e^{-\frac{n-1}{365}} \end{eqnarray*}$

Man kann das jetzt mal umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{365} \geq 1-e^{-\frac{n-1}{365}} \end{eqnarray*}$

Meinem Auge fehlt aber noch die *2, damit man im nenner 730 stehen hat und die *n oben im Zähler ..... irgendwie hin und hergerechnet aber ich sehs leider nicht unglücklich

unglücklich

Forum Kloppe

07.11.2006, 20:32

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Immer der Reihe nach: Wir sind bei

$\begin{eqnarray*} p_n = 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{k}{365} \right) \geq 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \exp\left\{ -\frac{k}{365} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt erstmal Potenzgesetze.

07.11.2006, 21:25

gast24

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Potenzgesetze .... dann hat man ja, wenn man das ausmultipliziert:

$\begin{eqnarray*} 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \exp\left\{ -\frac{k}{365} \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1- e^{\sum_{k=0}^{n-1}~-\frac{k}{365} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1- e^{\frac{-2-3-...+n}{365} } \end{eqnarray*}$

Soweit ertmal??

07.11.2006, 21:34

AD

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Genauso. Und jetzt gibt es ja die bekannte Summenformel für $\begin{eqnarray*} \sum_k ~ k \end{eqnarray*}$ , die schon Klein-Gauß kannte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.11.2006, 21:40

gast24

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Juhuuu ich glaube ich weiss .. also so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~-\frac{k}{365} = \frac{\frac{n(n+1)}{2}}{-365} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = -\frac{n(n+1)}{730} \end{eqnarray*}$

Juhuuu Tanzen

Tanzen

DAAAANKE!!!!!!!!!!! Gott

Gott

07.11.2006, 21:48

gast24

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Immer der Reihe nach: Wir sind bei

$\begin{eqnarray*} p_n = 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{k}{365} \right) \geq 1-\prod\limits_{k=0}^{n-1} \exp\left\{ -\frac{k}{365} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt erstmal Potenzgesetze.

Hab da doch noch eine letzte Frage..und zwar wie man auf diese Formel kommt, ich hab sie zwar angenommen aber bei Aufschreiben weiss ich nicht so recht wie man auf sie gekommen ist geschockt

geschockt

07.11.2006, 21:56

gast24

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ach so, versteh ich das richtig dass man für das x aus der Ungleichung die man zur Hilfe nehmen kann p_n setzt? also x=1-Produkt(1-k/365)?

07.11.2006, 22:15

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RE: Abschätzung zeigen
Nein, wieso denn??? Du benutzt die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 1-x \leq \exp\{-x\} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{k}{365} \end{eqnarray*}$

und zwar für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} 1-\frac{k}{365} \leq \exp\left\{ -\frac{k}{365} \right\},\qquad k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt multipliziert man die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ linken Seiten miteinander - alles positive Zahlen - und auch die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ rechten Seiten miteinander:

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{k=0}^{n-1} \left( 1-\frac{k}{365} \right) \leq \prod\limits_{k=0}^{n-1} \exp\left\{ -\frac{k}{365} \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt aber endlich, oder immer noch nicht??? Dann kann ich dir auch nicht mehr helfen. Stand alles schon oben, ich weiß nicht, warum immer so unaufmerksam gelesen wird. unglücklich

unglücklich

07.11.2006, 22:41

gast24

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doch doch ... jetzt ist alles klar ... tut mir leid, ein wenig fertig heute ..... langer tag ........

aber nochmals danke!!!!!!!!!!! Wink

Wink

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