Matizen, umformen, -1-Ergänzungstrick, diagonalisieren, Bild und Kern

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12.09.2010, 11:56	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Matizen, umformen, -1-Ergänzungstrick, diagonalisieren, Bild und Kern Meine Frage: Hallo, ich habe ganz viele Fragen zu Matrizen, die sich gesammelt habe bei der bisherigen Vorbereitung auf meine HM II Klausur. 1. Wenn ich Matrizen umforme, was darf ich da machen? Und gibt es Unterschiede zur Determinantenumformung? 2. Zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenräumen muss ich auf die Zeilennormalform kommen oder reicht die Zeilenstufenform aus um den -1-Ergänzungstrick anzuwenden? 3. Bild und Kern einer Matrix. Was ist das? Wozu sind die da? Hier habe ich leider überhaupt keine Ahnung, trotz Skript, Übung und Internetrecherche. 4. Beim Diagonalisieren einer Matrix habe ich gefunden, dass man eine S(hoch -1)AS=D bilden muss.Wobei in meinem S, die Eigenvektoren stehen und in D die Eigenwerte muss man da irgendetwas bei der Reihenfolge beachten oder kann man die einfach willkürlich auf die Diagonale setzen? Und wie invertiere ich um S (hoch -1) zu erhalten? Und wozu brauch ich das dann überhaupt, wenn ich eh einfach die Eigenwerte verwenden kann um D zu erhalten? Meine Ideen: zu 1. ich weiß dass ich die einzelnen Zeilen einer Matrix folgendermaßen verändern darf. Ein vielfaches einer anderen Zeilen dazuaddieren bzw subtrahieren. Eine Zeile mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren. Und Zeilen einfach vertauschen geht auch. Bei der Determinantenberechnung darf ich dasselbe ja auch mit Spalten machen, wenn ich das richtig verstanden habe. zu 3. da haben wir nur ein Beispiel mit Vektoren gerechnet das ich aber so nicht auf Matrizen übertragen kann. Hier eine alte Klausuraufgabe: Es sei die Matrix ( 1 5 4 0 0 1 -1 3 1 7 2 6) gegeben. a)Bestimmen Sie eine Basis des Kerns von A und eine Basis des Bildes von A. b) Geben Sie die Bedingungen Vektor b=(b1,b2,b3)Transponiert an, unter denen das Gleichungssystem A Vektor x= vektor b lösbar ist. c) Vektor b erfülle die Lösbarkeitsbedingungen aus b). Bestimmen die die allgemeine Lösung des Gleichungssystems A Vektor x = Vektor b. Ich weiß hier leider gar nicht wie ich überhaupt anfangen soll, da ich wie gesagt keine Ahnung von Bild und Kern habe. Viele Dank schonmal für eure Mühe Julia
12.09.2010, 12:20	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
1. bezieht sich wohl auf das Anwenden des Gauß-Algorithmus, da darfst du die genannten Umformungen machen. Allerdings musst du bei der Anwendung zur Determinantenberechnung aufpassen. 2. Was meinst du mit dem "-1-Ergänzungstrick"? Die Eigenräume werden bestimmt indem man LGS löst, ob man dafür die strikte Zeilenstufenform oder nur die einfache Zeilenstufenform verwendet spielt erstmal keine Rolle. Wie habt ihr die Eigenräume denn sonst immer bestimmt? 3. Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein Körper, $\begin{eqnarray} A\in K^{m\times n},~n,m\in N \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \operatorname{Kern}(A)=\{x\in K^{n\times 1}~\|~Ax=0\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \operatorname{Bild}(A)=\{y\in K^{m\times 1}~\|~\exists x\in K^{n\times 1}:~Ax=y\} \end{eqnarray}$ . Alternativ kann man das auch über die von der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ induzierte lineare Abbildung definieren. 4. Nein, du musst nicht "ein $\begin{eqnarray} S^{-1}AS=D \end{eqnarray}$ sondern: Eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ heißt diagonalisierbar, wenn ein $\begin{eqnarray} S\in GL_n(K) \end{eqnarray}$ und eine Diagonalmatrix $\begin{eqnarray} D\in K^{n\times n} \end{eqnarray}$ existieren, sodass gilt: $\begin{eqnarray} D=S^{-1}AS \end{eqnarray}$ . Das ist die bzw. eine mögliche Definition von Diagonalisierbarkeit. Im Falle der Diagonalisierbarkeit enhälti die Matrix $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ dann die Eigenvektoren von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , ja. Die Anordnung der Eigenvektoren hat aber natürlich Auswirkung auf die Diagonaleinträge von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Invertieren von $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ funktioniert ganz normal mit dem Gaußalgorithmus.
13.09.2010, 08:57	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Iorek, 1. und 2. Ich hab mal eine Klausuraufgabe zur Berechnung von Eigenräumen angehängt. Mit meiner Lösung zur zweiten Matrix, da kann man sehen, wie ich das mit dem -1-Ergänzungstrick mache. So haben wir das auch im Tutorium gemacht. mit LGS hab ich das noch nie gelöst. Auch muss ich da Matrizen umformen mit Gauß lös ich aber nie was. 3. schlag ich mich gleich mit rum 4. Also geh ich dann folgendermaßen vor: Ich bilde S mit Hilfe der Eigentvektoren, invertiere und rechne dann mein D aus? Das probier ich gleich mal. Danke für die schnell Antwort.
13.09.2010, 09:16	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
hm hab jeztt versucht die Diagonalmatrix auszurechnen, leider kommt keine Diagonalmatrixx raus. Schlussfolgerung, entweder waren meine Eigenvektoren falsch, oder ich hab mich verrechnen, aber ist es vom Ansatz her richtig wie ich das gemacht habe?
13.09.2010, 09:29	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das Diagonalisiern nochmal mit den Eigenvektoren aus der Lösung versucht, die waren: 1 0 0 0 1 3 1 0 1 und hab folgende Diagonalmatrix raus: 1 0 0 0 1 0 0 0 2 und die kommt auch in der Lösung raus Dh. mein Fehler liegt wohl bei den Eigenvektoren, aber wo???
13.09.2010, 11:25	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab mich jetzt nochmal an 3. versucht. Bild habe ich auch soweit rausbekommen. aber bei der Berechnung des Kerns bleibe ich leider hängen, wie muss ich da weitervorgehen?
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13.09.2010, 13:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der "-1-Ergänzungstrick" ist also das Einfügen von Variablen bei einem unterbestimmten LGS, deine Rechnung sollte soweit stimmen (wobei sich mir noch nicht der Sinn der -6 in der zweiten Komponente des zweiten Basisvektors des Eigenraums zum Eigenwert 1 erschließt, die ist zwar nicht falsch, aber ich wüsste nicht, wie du darauf kommst). Soweit ich das richtig gesehen hab, ist dein "-1-Ergänzungstrick" an den falschen Eigenvektoren Schuld; nachdem du Variablen eingeführt hast, solltest du die Matrix auf strikte Zeilenstufenform bringen, dann erhältst du auch die richtigen Eigenvektoren mit denen du auch auf die richtige Diagonalmatrix kommst. Die Diagonalmatrix kennst du auch schon, nachdem du die Eigenwerte von A bestimmt hast (sofern klar ist, dass die Matrix A diagonalisierbar ist); die Einträge auf der Diagonalen entsprechen den Eigenwerten (einzig die Anordnung kann variieren, jenachdem in welcher Reihenfolge du die Eigenvektoren in S schreibst). Deine Kernberechnung stimmt soweit, jetzt füge wieder Variablen ein und bring das LGS auf strikte Zeilenstufenform.
13.09.2010, 15:21	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hab meinen Fehler gefunden, die -6 ist wirklich falsch, das kommt davon, wenn man so selten kopfrechnet, aber in der Klausur dürfen wir nunmal keinen TR benutzen. Hab jetzt auch die richtigen Eigenvektoren raus. Kennst du den -1-Ergänzungstrick nicht? Die Zeilen, in die ich die -1 schreibe, sind die Eigenvektoren, da muss man eigentlich nichts mehr umformen, das haben wir im Tut so gelernt Wenn ich nun also ein S habe, füge ich dann dementsprechend die zugehörigen Vielfachheiten in die Diagonalmatrix, also ich nehm den Eigenvektor mit ner angenommen algeb. Vielfachheit von 1 und setzte ihn an erster Stelle und dann setze ich auch dessen algebraische Vielfachheit in die erste Spalte der Diagonalmatirx, dann nehm ich den nächsten Vektor und setze dessen Vielfachheit ein, kann man das so sagen? Was meinst du mit Variablen einfügen? Kann ich jetzt einfach ein x wählen? Ich müsste dann aber 2 x wählen oder? Weil ich habe 4 Unbekannte und nur 2 Gleichungen... Bin ich da mit meinen Gedankengängen richtig?
13.09.2010, 16:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ne, die -6 ist nicht direkt falsch, sie ist aber nicht notwendig und verkompliziert das Ganze nur. Ich kenne den Trick zumindest nicht unter dem Namen, das Vorgehen ist mir schon bekannt. Was ich mit dem Umformen meinte: Wir haben ein (homogenes) LGS das wir lösen wollen und wenden den Gaußalgorithmus an, irgendwann haben wir das soweit umgeformt dass Nullzeilen entstehen und wir Variablen einführen, nehmen wir einfach mal das homogene LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , jetzt würde ich eine Variable einführen um das (unterbestimmte) LGS zu lösen: $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc\|c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \end{array}\right) \end{eqnarray}$ , jetzt können wir das weiter auflösen und erhalten $\begin{eqnarray} \left( \begin{array}{ccc\|c} 1 & 0 & 0 & -2a \\ 0 & 1 & 0 & -a \\ 0 & 0 & 1 & a \end{array}\right) \end{eqnarray}$ , was (im Sinne deiner Aufgabenstellung) äquivalent ist zu $\begin{eqnarray} \operatorname{span}(\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1\end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ . Wir bringen das LGS also auf Stufenform und fügen immer da, wo keine Stufe vorhanden ist eine Variable ein, damit wir das Gleichungssystem weiter auflösen können. Wenn mehrere Stufen frei sind wie bei deiner Kernberechnung, dann musst du mehrere Variablen einführen, für jede Stufe eine.
13.09.2010, 17:54	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, okay bei der quadratische Matrix versteh ich das jetzt ja, aber wie soll ich das bei der Kernberechnung denn machen? Ich habe unten nur eine Nullzeile. Wenn ich das LGS ausschreibe, steht da dann x1 + 9 x3 - 15 x4 = 0 x2 - x3 + 3 x4 = 0. Kann ich da jetzt nicht einfach 2 x frei wählen. Also zB. x3=... und x4=... oder darf ich das nicht? In der Lösung hat unser Prof dafür keine Zahlen sondern s und t eingesetzt, aber warum und wieso steht da ja mal wieder nicht. Wenn ich dein Beispiel jetzt nach meiner -1-Methode gelöst hätte, hätte ich aber 2 1 -1 rausbekommen, ist das dann trotzdem richtig? Kann man also verschiede Ergebnisse haben?
13.09.2010, 18:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du musst jetzt 2 Variablen wählen. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 1 & 0 & 9 & 15 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & 0 \end{array} \right) \end{eqnarray}$ , so sähe die Matrix aus, wenn wir die Nullzeilen wegfallen lassen; uns fehlen also noch die Stufen bei 3 und 4, also fügen wir da jetzt Variablen ein: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 1 & 0 & 9 & 15 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b \end{array} \right) \end{eqnarray}$ Das können wir jetzt weiter lösen. Zu meinem Beispiel: es gibt nicht DIE Lösung, deine Lösung ist auch richtig. Es handelt sich ja um $\begin{eqnarray} \operatorname{span}(\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ , also die Menge aller Linearkombinationen dieses Vektors, also ist $\begin{eqnarray} \operatorname{span}(\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix})=\operatorname{span}(\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}) \end{eqnarray}$ (lies nochmal etwas zum Span bzw. Erzeugendensystem und der Basis eines Vektorraums nach wenn du dir da noch nicht sicher bist).
14.09.2010, 08:36	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich darf eine weiter Nullzeile einfügen, weil die dann l.a. ist und ich somit nichts veränder, richtig? hab jetzt folgende Vektoren raus (-9,1,1,0) und (15,-3,0,1). Werd mich jetzt noch ans Lesen machen, danke für den Tipp, ich weiß oft gar nicht was ich nachschlagen soll. DANKE für deine Hilfe!
14.09.2010, 13:33	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo (und wieso) willst du denn eine Nullzeile einfügen?
14.09.2010, 14:17	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
ähm ja einfach unter meine Matrix, du hast ja eine wegfallen lassen, aber ich kann doch auch erstmal noch eine dazumachen und dann die Variablen einführen.
14.09.2010, 17:10	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Frage ist ja aber, warum du eine Nullzeile hinzufügen willst, die bringt dich bei der Lösung ja nicht weiter.
14.09.2010, 19:54	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich hab die Nullzeile nur eingfügt um dann das mit den Variablen machen zu können. So wie du das dann hast. $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{cccc\|c} 1 & 0 & 9 & 15 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & a \\ 0 & 0 & 0 & 1 & b \end{array} \right) \end{eqnarray}$
14.09.2010, 20:28	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso...quasi als Zwischenschritt? Ja, wenn dir das bei der Berechnung hilft, kannst du das natürlich machen. Die berechneten Vektoren stimmen auch, wie lautet also eine Basis für den Kern?
15.09.2010, 08:58	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja quasi als Zwischenschritt, dürfte ich das auch machen, wenn ich keine Nullzeile hab, also angenommen dieses 2x4 Matrix, darf ich dann immer machen? Wie schreibt man dass denn auf? Basis des Kerns: (vektor 1), (vektor 2)
15.09.2010, 14:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Basis des Kerns ist durch $\begin{eqnarray} B~(v_1,~v_2) \end{eqnarray}$ gegeben wäre eine mögliche Formulierung, allerdings sind auch andere möglich, das ist Geschmackssache.
15.09.2010, 19:09	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreib ich mir das mal so auf mein Blatt =) also B ( (v1), (v2) ) Sätze formulieren sollte ich dann schon hinbekommen. Jetzt muss ich nur noch das zweite Thema lernen, aber in Matrizen und alles was dazugehört fühl ich mich jetzt soweit erstmal fit.
16.09.2010, 07:03	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann viel Erfolg beim weiteren Lernen. Wenn weitere Probleme auftreten, kannst du natürlich gern wieder nachfragen.
17.09.2010, 13:05	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Werd ich drauf zurückkommen. Dankeschön=) Aber ich hoffe, dass ich mit dieser Klausur das gröbste an Mathe an der Uni hinter mir hab.
20.10.2010, 20:11	SternchenJulia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab bestanden!!!! Hab heute meinem Prof noch 3 Punkte rausgelabert und hab jetzt mit 8 Punkten und ner 4,0 bestanden, hätte zwar besser werden können, v.a. weil ich Matrizen dank dir wirklich ausm FF konnte, aber was solls, hauptsache nicht nochmal machen. DANKE
20.10.2010, 20:45	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann mal herzlichen Glückwunsch Immer wieder froh so eine Rückmeldung zu bekommen.

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