Beispielaufgabe zu Abbildungen und Umkehrabbildungen

12.09.2010, 15:06

Alex44

Beispielaufgabe zu Abbildungen und Umkehrabbildungen

Hallo

,

ich bin gerade beim Thema Umkehrabbildungen - speziell darstellende Matrizen usw.

Ich habe hier eine - selbsterdachte - Aufgabe, um das ganze mal besser nachvollziehen zu können.
(Die Aufgaben aus der Uni sind so trivial, dass sie da nicht viel hergeben. Alles nur 1 und 0. Zwei Zeilen rechnen und fertig. Erkenntnis geht gegen Null. Und in der Prüfung hauen sie einem dann was rein, was keiner versteht böse

)

Also:

Zitat:

gegeben:

$\begin{eqnarray*} K_B:V \rightarrow \mathbb R^{3}; mit V \subseteq \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$

die Umkehrung dazu:
$\begin{eqnarray*} K_B^{-1}:\mathbb R^{3} \rightarrow V; mit V \subseteq \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$

und eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B_V=\left\{ \left[ \begin{matrix}0&1\\4&0 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix}0&1\\0&1 \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 1&0\\0&0 \end{matrix} \right] \right\} \end{eqnarray*}$

Zu bestimmen sind:
$\begin{eqnarray*} K_B; K_B^{-1} \end{eqnarray*}$

so und hier mein Ansatz:

Ich fange mit der Umkehrung an, weil ich diese am besten kann:
(für einen Tipp wie man es andersrum beginnen könnte wäre ich dankbar! Gott

)

Da bekannt ist, dass.
$\begin{eqnarray*} K_B^{-1}:\mathbb R^{3} \rightarrow V; mit V \subseteq \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$
kann man ersatzhalber folgendes schreiben:
$\begin{eqnarray*} K_B^{-1}:\left[ \begin{matrix}a\\b\\c \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix}d&e\\f&g \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$

Da nun die Basis ein ein eindeutiges Erzeugendensystem ist, lässt sich V auch eindeutig über eine Linearkombination der Basiselemente darstellen:
$\begin{eqnarray*} \left[ \begin{matrix}d&e\\f&g \end{matrix} \right]=a\left[ \begin{matrix}0&1\\4&0 \end{matrix} \right]+b\left[ \begin{matrix}0&1\\0&1 \end{matrix} \right]+c\left[ \begin{matrix} 1&0\\0&0 \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}d&e\\f&g \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} c&a+b\\4a&b \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} K_B^{-1}:\left[ \begin{matrix}a\\b\\c \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix}c&a+b\\4a&b \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$

Damit wäre nun das Erste erledigt.

Es folgt die Umkehrung des Ganzen:
Hier bin ich mir unsicher verwirrt

bekannt ist:
$\begin{eqnarray*} K_B:V \rightarrow \mathbb R^{3}; mit V \subseteq \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$
und so kann man schreiben:
$\begin{eqnarray*} K_B:\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix}\alpha\\ \beta \\ \gamma \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$
dabei benenne ich mal X und Y:
$\begin{eqnarray*} X:=\left[ \begin{matrix}\alpha\\ \beta \\ \gamma \end{matrix} \right]\in \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y:=\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix} \right]\in \mathbb R^{2,2} \end{eqnarray*}$

ich behaupte mal:
unsicher
$\begin{eqnarray*} K_B^{-1}\left(K_B\left(Y\right)\right)=Y= K_B^{-1}\left(X\right) \Rightarrow Y=K_B^{-1}\left(X\right) \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} Y=\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix} \right]=K_B^{-1}\left(\left[ \begin{matrix}\alpha\\ \beta \\ \gamma \end{matrix} \right]\right)=\left[ \begin{matrix}\gamma& \alpha+\beta \\ 4\alpha & \beta \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$

dann einen "Koeffizientenvergleich":
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{llll} a &= \gamma &\Leftrightarrow \gamma &= a \\ b &= \alpha + \beta &\Leftrightarrow ? & \\ c &= 4\alpha &\Leftrightarrow \alpha &= \frac{c}{4} \\ d &= \beta &\Leftrightarrow \beta &= d \end{array} \end{eqnarray*}$
Was ist denn das mit dem b-Term geschockt

???

es würde dann das rauskommen:
$\begin{eqnarray*} K_B:\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d \end{matrix} \right] \mapsto \left[ \begin{matrix}\frac{c}{4}\\ d \\ a \end{matrix} \right] \end{eqnarray*}$

Die Frage wäre nun - stimmt das alles? Auch von der Argumentation her?

Ich freue mich auf Eure Antworten smile

12.09.2010, 22:18

Alex44

Beispielaufgabe zu Abbildungen und Umkehrabbildungen

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