Rekonstruktionsaufgabe

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12.09.2010, 18:04	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Rekonstruktionsaufgabe Hi, also die Aufgabe heißt: "Bestimme alle ganzrationalen Funktionen 3. Grades, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung sind, einen Tiefpunkt für x=1 haben und durch den Punkt A(2/2) gehen." So, da es ja punktsymmetrisch ist, nehme ich als Ansatz nur die ungeraden Exponenten der ganzrationalen Funktion 3. Grades: f(x)=ax³+cx und f'(x)=3ax²+c Nun habe ich die Bedingung TP für x=1: f'(1)=0 Die andere Bedingung ist: f(2)=2 Damit ergibt sich als LGS: I 3a + c = 0 II 8a + 2c=1 Die Lösung des LGS ist a=1 und c=-3. => f(x)=x³-3x Wie bekomme ich aber ALLE Finktionen heraus, die diese Eigenschaften erfüllen?
12.09.2010, 18:09	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind bereits alle ganzrationale Funktionen 3. Grades. Alle ist hier eben nur eine.
12.09.2010, 18:35	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir vllt. noch bei der Aufgabe helfen: Ich muss eine ganzrationale Funktion 2. Grades finden, welche durch die Punkte A(-4/0) und B(0/-4) geht. Sind ja nur 2 Bedingungen, weiss nicht wie ich die dritte Bedingungen hier erkennen soll :s
12.09.2010, 18:57	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Diesmal könnte vllt. wohl eher "bestimmen sie alle Funktionen 2. Grades..." gemeint sein Stell beide Bedingungen auf und rechne erstmal so weit du kommst und schreib das hier rein, dann sehen wir weiter.
12.09.2010, 19:04	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Ansatz ist ja f(x)=ax²+bx+c Dann: f(-4)=0 => 16a - 4b + c = 0 f(0) =-4 => c = -4 Jetzt könnte ich mir denken, dass ich sage b=t, also ein beliebiger Parameter € IR und dann einfach weiter auflösen?
12.09.2010, 19:45	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es. Aber du darfst das b ruhig behalten, denn ob das jetzt b oder t heißt, ist dem b egal Also, drücke entweder das b durch a aus, oder drücke a durch b aus und setze in die Ursprungsfunktion ein. $\begin{eqnarray} f(x) = ax^2+bx-4 \end{eqnarray}$ hast du ja schon.
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12.09.2010, 21:48	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie steh ich doch grad wieder aufm Schlauch... Ich habe ja: f(-4)=0 => 16a - 4b + c = 0 f(0) =-4 => c = -4 Drücke ich nun a durch b aus erhalte ich doch: a=1/4+1/4b, wegen der Zeile 16a - 4b =4. Aber das bringt mir nicht die richtige Funktion
13.09.2010, 13:26	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt auch nicht DIE Funktion, die diese Bedingung erfüllt, sondern es wird eine Funktionsschar entstehen. Wenn wir b durch a ausdrücken wird es ein wenig leichter. Das heißt $\begin{eqnarray} f(0) =-4 \Rightarrow c = -4 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f(-4) = 0 \Rightarrow 16a-4b-4 = 0 \end{eqnarray}$ Noch durch 4 teilen und nach b umstellen: $\begin{eqnarray} 4a-1=b \end{eqnarray}$ Nun haben wir unser b, unser c ist sowieso schon berechnet und a bleibt einfach a, unser Parameter. Nun kannst du die fertige Funktionsschar mal aufschreiben.
13.09.2010, 16:41	Hanz	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, dann müsste es doch so lauten: f(x)=ax²+(4a-1)x-4 mit a € IR
13.09.2010, 17:26	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. $\begin{eqnarray} a \in \mathbb R \setminus\{0\} \end{eqnarray}$ denn die Funktionsschar muss ja 2. Grades bleiben. Das Ergebnis lautet also $\begin{eqnarray} f_a(x) = ax^2+(4a-1)x-4 \end{eqnarray}$ Ein Bild zur Veranschaulichung (klicken zum vergrößern), die schwarze Funktion ist $\begin{eqnarray} f_0(x) \end{eqnarray}$ , also diejenige, die wir ausgeschlossen haben. [attach]16010[/attach]

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