Beweis für genau einen Fixpunkt |
12.09.2010, 21:03 | Physikantin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis für genau einen Fixpunkt Es sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum und T:X->X eine Abbildung mit d(T(x)),T(y))<d(x,y) für alle x,y X mit x y. Zeige: T hat genau einen Fixpunkt a X. Meine Ideen: Ich hab ja schon rausgefunden, dass das im Grunde der banachsche Fixpunktsatz ist, nur das der Raum hier kompakt ist und nicht vollständig. Außerdem fehlt hier dieses q [0,1]. Unterscheidet sich da jetzt der Beweis groß vom Beweis vom Banachschen Fixpunktsatz? |
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12.09.2010, 21:17 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na hoffentlich fehlt das auch beim Banachschen Fixpunktsatz, denn das ist Quatsch! Da darf q nicht 1 sein und sollte nicht 0 sein. Es gilt: Kompakt -> vollständig sowie Wenn du den Banachschen Fixpunktsatz schon in der Vorlesung hattest ist die Aufgabe doch total absurd... |
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12.09.2010, 21:21 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, Der Beweis kann nicht ganz analog zu dem des Banachschen Fixpunktsatzes geführt werden. Eben genau weil man i. Allgemeinen kein finden kann. Aber du kannst dir mal die stetige Funktion anschauen. Übrigens:
Kompakte, metrische Räume sind auch vollständig. (kannst du dir ja mal überlegen...) Gruss |
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12.09.2010, 21:24 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm nein? Ich hab gedacht: Es gilt sonst ist die Gleichung nicht erfüllbar. edit: Hm darüber meditier ich mal kurz edit2: Doch das geht, dazu braucht man aber tatsächlich dass X kompakt ist. edit3: Dementsprechend wäre |
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12.09.2010, 21:41 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu deinem Schluss wird man regelrecht verführt (ich auch), aber es geht leider eben nur fast, da die Funktion nicht auf ganz definiert ist. Ich hab' hier im Forum mal folgendes Gegenbeispiel gesehen: Dann ist Beachte, dass genau das oben genannte Problem auftritt. |
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12.09.2010, 21:54 | giles | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok gegen das Gegenbeispiel ist natürlich kein Kraut gewachsen. Du hast natürlich Recht
f ist ja nur auf was dann natürlich kein Kompaktum mehr ist, weshalb das von mir gebildete Supremum oben nicht mehr angenommen werden muss. @Physikantin Mach das dann lieber so wie gonnabphd gesagt hat |
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15.09.2010, 13:14 | Physikantin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey! Ihr habt recht, ich hab die Klammern ausversehen falsch gesetzt es heißt natürlich q ]0,1[ . Hab mir schon fast gedacht, dass kompakte Räume auch vollständig sind, war mir nur nicht ganz sicher. Danke. Ich werd mir das Skript noch mal anschauen. |
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